Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

351

бесконечно длинного цилиндра радиуса R , помещённого в однородное электрическое поле E0 , методом разделения

переменных. Цилиндр и окружающая его среда имеют удельные проводимости γ1 и γ2 . Внешнее поле

напряжённостью E0 перпендикулярно оси цилиндра z .

Задача 16*. Определить напряжённости и потенциал электрического поля диэлектрического равномерно заряженного шара: заряд шара Q , радиус – a .

d =5 см от плоской стеклянной поверхности (ε =6)?

Задача 19. На расстоянии 4 см от безграничной плоской поверхности раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 =3 и ε2 =7 в среде с

ε1 расположен точечный заряд q =10-9 Кл. Вычислить

352

напряжённость поля E на расстоянии от заряда 3 см по нормали к поверхности раздела.

Задача 20*. На расстоянии h от границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и

ε2 в среде с ε2 расположена заряженная нить с линейной плотность заряда τ . Определить потенциал ϕ и

напряжённость электрического поля E для точки, лежащей на границе раздела диэлектриков по нормали от заряда, считая её принадлежащей двум средам.

Тема А2 Электрическое поле постоянного тока

Задача 21*. Стальная пластина представляет собой ¾ диска с концентрически вырезанным круглым отверстием.

Задача 22. Потенциал постоянного электрического поля ϕ , созданного в проводящей среде с удельной

проводимостью γ =10-4 См/м, изменяется по закону

ϕ = cx2 −cy2 + d ,

где c =1 В/м2; d =2 В.

→

Найти законы изменения плотности тока δ (x, y) и divδ (x, y) в зависимости от координат точки.

353

Задача 23. Определить ток утечки Iут коаксиального

кабеля длиной l =1 км. Пространство между жилой и оболочкой коаксиального кабеля заполнено неидеальным диэлектриком с удельной проводимостью γ =10-8 Ом-1×м-1.

Радиус жилы - R1 ; радиус оболочки R2 = e R1 ; e –

основание натурального логарифма. Напряжение между жилой и оболочкой U =10 кВ.

Задача 24*. Заземлитель представляет собой металлическую полусферу. Через заземлитель стекает ток I =1000 А; удельная проводимость земли γ =10-2 Ом-1×м-1.

Найти напряжение U между точками, расположенными на

(γi =5.7×107 Ом-1×м-1), имеющем цилиндрическую форму и

расположенном перпендикулярно полю, созданному в пластине алюминия.

Задача 26. В морскую воду с удельной проводимостью γ =0.1 Ом-1×м-1 вертикально опущены две металлические

трубы с наружным диаметром D =5 см и длиной l =3 м. Найти проводимость G между трубами, если оси труб удалены на расстояние d =25 м.

Задача 27. Радиус внутреннего электрода сферического конденсатора R1 =2 см, радиус внешнего

354

электрода R2 =5см, удельная проводимость диэлектрика γ =10-10 Ом-1×м-1. К электродам конденсатора приложено постоянное напряжение U =3000 В. Найти зависимость модуля плотности тока δ (r ) в функции расстояния от центра сфер. Подсчитать ток утечки Iут через несовершенную изоляцию.

Задача 28. Между электродами сферического конденсатора находится диэлектрик, удельная проводимость γ которого меняется по закону

γ = γ0 / r ,

где R1 < r < R2 ;

γ0 =10-4 См/м.

Радиусы внутренней и внешней сферы соответственно

где γ1 =10-9 См/см;

k =0.1 см-1.

Радиус внутреннего цилиндра a =5 см, радиус внешнего цилиндра b =10 см; длина конденсатора l =1 м. Конденсатор включён под постоянное напряжение

355

U=1 кВ. Найти закон распределения плотности тока δ (r )

вфункции расстояния r от оси цилиндра. Вычислить ток утечки Iут. .

Задача 30. Полусферический заземлитель радиусом R0 расположен в грунте с удельной проводимостью γ1 . Расстояние от центра полусферы до поверхности раздела

расстояния. Принять ϕ =0 при r →∞.

Тема А3 Магнитное поле постоянного тока

Задача 31. Найти угол α2 , под которым силовые линии

магнитного поля выходят в среду с относительной магнитной проницаемостью µ2 , если угол падения α1 =89°,

µ1 =104, µ2 =1.

Задача 32. С помощью закона Био-Савара-Лапласа определить магнитную индукцию B , создаваемую отрезком линейного провода L с током I , в точке M , удалённой от провода на расстояние b .

Задача 33*. С помощью закона Био-Савара-Лапласа вывести формулу для определения напряжённости магнитного поля H на оси кругового витка радиуса a с током I .

356

Задача 34*. Постоянный ток I =5 А протекает вдоль рамки, выполненной в виде правильного многоугольника, вписанного в окружность радиусом a =10 см. Количество

Задача 36*. Вдоль трубы круглого сечения с внутренним радиусом R1 и наружным радиусом R2

протекает постоянный ток I . Определить напряжённости магнитного поля H внутри трубы, в теле трубы и вне трубы. Построить качественную картину поля.

магнитного поля в проводниках кабеля, а также во внутренней и наружной областях. Построить качественную картину распределения полей.

Задача 38. Найти разность скалярных магнитных потенциалов ϕmA −ϕmB между точками A и B ,

расположенными в магнитном поле линейного проводника с током I =10 А. Координаты точек: rA =2 см; θA =90°; rB =4

см; θB =0°.

357

Задача 39. В воздухе создано равномерное магнитное поле напряжённостью H0 =240 А/м. В это поле поместили

ферромагнитный шарик, относительная магнитная проницаемость которого µi =20. Найти магнитную

индукцию в шарике Bi .

Задача 40*. Над границей раздела двух магнитных сред с магнитными проницаемостями µ1 =1 и µ2 =999, в

среде с µ1 , на расстоянии R от границы расположен

проводник с током. Определить напряжённости магнитного поля в точках M и N : R =2 см; точка M находится на расстоянии R1 =2 см от провода с током;

точка N находится на расстоянии 4 см от точки M перпендикулярно поверхности раздела; сила тока I1 =10 А.

Найти напряжённости магнитного поля H в точках M и N .

Задача 41. Прямолинейный длинный провод, вдоль которого протекает ток I1 =60 А, расположен в воздухе

параллельно плоской поверхности стальной ( µ →∞) плиты

на расстоянии h =2 см от неё. Определить напряжённости магнитного поля H в точках A и B , координаты которых: xA =0; yA =0; xB =3 см; yB =2 см.

Задача 42. Вдоль длинного цилиндрического стального провода протекает постоянный ток. Радиус провода R0 =1 см. Относительная магнитная проницаемость стали

µ =50. Средой, окружающей провод, является воздух. Проекция векторного магнитного потенциала Az на оси z

меняется в функции расстояния r от оси провода по следующим законам:

359

находящейся на её поверхности. Подсчитать величину потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность жилы на длине в l =1 м. Радиус жилы R1 =0.3 см;

внутренний радиус оболочки R2 =1 см; ток, протекающий

Задача 46*. На границе раздела диэлектрик – воздух ( z =0) напряжённость электрического поля плоской волны изменяется по закону

Задача 47*. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха в металлическую плиту (γ =5×106 Ом-1×м-1; µ =1). Фазовый фронт параллелен

площадью S =1 м2.

Задача 48. Коаксиальный кабель с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутренней жилы R0 =5 мм,

360

внутреннего слоя диэлектрика ε1 =5, внешнего слоя диэлектрика ε2 =2. Кабель находится под постоянным

напряжением U =100 кВ. Вдоль жилы и оболочки кабеля протекает ток I =100 А. Жила и оболочка кабеля выполнены из меди (γ =57×106 См/м). Выбрать толщину

оболочки ∆ так, чтобы потоки вектора Пойнтинга через боковые поверхности жилы и оболочки были равны.

Задача 49. С целью исследования электрических свойств стеклопластика опытным путём найден

удельной проводимостью γ =107 Ом-1×м-1 и относительной магнитной проницаемостью µ =103. Определить коэффициент затухания α , коэффициент фазы β , волновое число k , глубину проникновения ∆, длину волны λ , фазовую скорость волны vф в проводящей среде.

Задача 51. Плоская электромагнитная волна распространяется в меди, удельная проводимость которой γ =57×106 Ом-1×м-1. Найти фазовые скорости волн vф ,

волновые сопротивления Zв и эквивалентные глубины проникновения волн с частотами f1 =50 Гц и f2 =106 Гц, если µ =1.