Kretov_vse
.pdf
§ 5.2. иОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
788.Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x +2y +z– 8 =0 и удаленных от нее на расстояние d = 4.
789.Две грани куба лежат на плоскостях 2x –2y +z– 1 =0, 2x –2y +z+5=0. Вычислить объем этого куба.
790. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости x +2y –2z–2=0 на расстояние d = 4.
791.На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плос-
костей 12x –16y +15z+1=0, 2x +2y –z– 1 =0.
792.Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы α, β, γ, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
а) x +y 
2 +z– 10 =0; б) x –y – z 
2 +16 =0; в) x +z– 6 =0;
г) у– z+2 =0; |
д) x 3 +y +10 =0; |
е) z–2 =0; |
ж) 2х+1 =0; |
з) 2у+1 =0. |
|
793. Вычислить расстояние от точки Р(– 1; 1; 2) до плоскости, проходящей через точки М1(1; –1; 1), М2(– 2; 1; 3), М3(4;
–5; – 2).
794.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(– 4; – 3; –2), параллельной плоскости x +2y – 3z–6 =0.
795.Найти величину острого угла между плоскостями:
а) 11x –8y – 7z– 15 =0 и 4x –10y +z–2 =0; б) 2x +3y – 4z+4 =0 и 5x –2y +z–3=0.
796. Найти величину острого угла между плоскостями:
а) x +y – 2z+5 =0 и |
2x +3y +z– 2=0; |
б) 2x –2y +z=0 и |
z=0. |
797.Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x – 2y +2z+5 =0 и удаленной от точки М(3; 4; – 2) на расстояние d = 5.
798.Найти расстояние между параллельными плоскостями:
а) x +y – z–2=0 |
и 2x +2y – 2z+5 =0; |
б) 2x –3y +6z– 14=0 |
и 2x – 3y +6z+42 =0. |
799.Найти расстояние от точки М0(5; 4; – 1) до плоскости,
проходящей через точки М1(0; 4; 0), М2(0; 4; –3), М3(3; 0; 3).
800.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку М(2; 1; –1) перпендикулярно плос-
кости 2x –3z=0.
131
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
801.Составить уравнение плоскости. проходящей через точку М(4; 0; 2) и перпендикулярной плоскостям x +y +z=0 и y – z=0.
802.Составить равнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x–y–12z–3=0 и 3x+3y–7z–2=0 перпендикулярно плоскости 4x – 2y +25 =М0.
803.Найти точку N, симметричную точке М(1; 1; 1) относительно плоскости x +y– 2z– 6=0.
§5.3. ирflП‡fl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
1.Прямая линия может быть определена как пересечение двух плоскостей:
Ax + By +Cz + D = 0,
(5.3.1)
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0,
при этом направляющий вектор прямой a = N1 × N2 , где N1 и
N2 — перпендикуляры к плоскостям. 2. Каноническое уравнение прямой:
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, |
(5.3.2) |
|
l |
m |
n |
|||||
|
|
|
|
где M0(x0; y0; z0) — точка, через которую проходит прямая; a(l, m, n) — направляющий вектор прямой.
3. Уравнение прямой, проходящей через данные точки
M0(x0; y0; z0) и M1(x1; y1; z1):
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
(5.3.3) |
||||||
x |
− x |
|
y |
− y |
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
z |
− z |
0 |
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
4. Параметрические уравнения прямой:
x = x0 +lt, |
|
|
|
+ mt, |
(5.3.4) |
y = y0 |
||
|
+ nt. |
|
z = z0 |
|
|
132
§ 5.3. ирflП‡fl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
5. Косинус угла между прямыми
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
и |
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
|
= |
z − z1 |
|
|||||||
|
l |
m |
|
n |
|
l |
|
m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
cosϕ = |
|
|
|
ll1 + mm1 + nn1 |
|
; |
(5.3.5) |
||||||||||||
|
|
l2 + m2 + n2 l 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ m 2 + n 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
условие параллельности прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
= |
|
m |
|
= |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
(5.3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
условие перпендикулярности прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ll1+mm1+nn1 = 0. |
|
|
|
|
(5.3.7) |
||||||||||||
бДСДзаь
804. Составить каноническое уравнение прямой, проходя-
щей через точки М1 и М2: |
|
а) М1(1; –2; 1), М2(3; 1; –1); |
б) М1(3; – 1; 0), М2(1; 0; – 3); |
в) М1(0; – 2; 3), М2(3; –2; 1); |
г) М1(1; 2; –4), М2(–1; 2; –4). |
805. Написать каноническое уравнение прямой, заданной |
|
как пересечение двух плоскостей: |
|
а) x +2y +3z– 13 =0 |
и 3x +y +4z–14 =0; |
б) 2x –y +3z– 1 =0 |
и 5x +4y – z–7=0; |
в) x – 2y +3z– 4 =0 |
и 3x +2y – 5z–4 =0; |
г) 5x +y +z=0 |
и 2x +3y – 2z+5 =0; |
д) x – 2y +3z+1 =0 и 2x +y –4z–8=0.
806.Написать параметрические уравнения прямых предыдущей задачи.
807.Как расположить прямые
а) |
x + 2 |
= |
y −1 |
= |
z |
|
x + y − z = |
0, |
|
и |
|
|
; |
||||||
3 |
|
|
|
= 0 |
|||||
|
|
− 2 1 |
x − y −5z −8 |
|
|||||
133
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
x + 3y + z + 2 = 0,
б) x = 2t +5, y = – t +2, z = t – 7 и ;
x − y −3z − 2 = 0
в) |
x + y −3z +1 |
= 0, |
|
x + 2y −5z −1 |
= 0, |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
и |
|
|
= 0 |
|
|||||||||||
|
x − y + z + 3 |
|
x − 2y + 3z −9 |
|
|
|||||||||||||||||||
г) |
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 3 |
и |
x +1 |
= |
y − 2 |
= |
z +1 |
; |
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
− 6 |
6 |
|
2 |
|
−3 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
x |
= |
|
|
y −1 |
= |
z |
|
|
3x + y −5z +1 = 0, |
|
|
|
|
|||||||||
д) |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2x + 3y −8z + 3 = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y − |
4z + 2 = 0, |
; |
|||
е) x = 2t +1, y = 3t –2, z = – 6t +1 и |
|
|
35z + 4 = 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − y − |
|
||||
|
x |
+ y −3z +1 = 0, |
2x + y + |
2z −1 = 0, |
; |
|
||||||||||
ж) |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||
|
2x − y −9z + 5 = 0 |
2x − 2y − z + 2 = 0 |
|
|
||||||||||||
з) |
x |
= |
y −1 |
= |
z +1 |
и |
x − 2 |
= |
y + 2 |
= |
z −1 |
. |
|
|
||
2 |
−3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
||||||
808. Найти точку N, симметричную точке М(1; 1; 1) отно-
сительно прямой x 2−1 = 3y = z−+11 .
x − 2y −5 = 0,
809.Вычислить углы, образованные прямой x −3z +82 = 0
сосями координат.
810.Найти точку пересечения прямых
а) |
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 4 |
|
и |
x − 2 |
= |
|
y −5 |
= |
z −1 |
; |
|||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
б) |
x |
= |
|
y − 7 |
= |
z + 2 |
|
и |
|
x −3 |
= |
|
y |
= |
z +1 |
; |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
134
§ 5.3. ирflП‡fl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
в) |
x −3 |
= |
|
y |
= |
z +1 |
и |
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 4 |
; |
|
|
|
||||||||||
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 4 |
и |
x −2 |
= |
y −5 |
|
= |
z −1 |
. |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
811. Общее уравнение прямой |
x + 2y |
−3z + |
2 = 0, |
пре- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 2y + z −5 = 0 |
|
|||||||||
образовать к каноническому виду и определить величины углов, образованных этой прямой с координатными осями.
x = 2,
812. Найти направляющий вектор прямой
z = 4.
813. Привести к каноническому виду прямую
x + 2y + 4z −8 = 0,
6x + 3y + 2z −18 = 0.
814.Найти направляющие косинусы прямой
x+3 3 = y −02,5 = z 4−1.
815.Найти параметрические уравнения прямой:
а) проходящей через точку (1; 0; –1) и параллельной век-
тору a ={2, 3, 0};
б) проходящей через точки (2; 2; 2) и (6; 2; 1). 816. Найти угол между прямыми
а) |
4x |
− y − z + |
12 = 0, |
3x − 2y +16 = |
0, |
; |
|
|||||||||
|
|
y − z − 2 |
= 0 |
и |
3x |
− z = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
− y + z − |
4 = 0, |
x + y |
+ z − 4 = 0, |
; |
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
+ 5 = 0 |
и |
|
|
= |
0 |
|||||
|
|
2x + y − 2z |
2x + 3y − z − 6 |
|
||||||||||||
в) |
|
x |
= |
|
y |
= |
z |
и |
x = z +1, |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
3 |
|
− z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
y =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
135
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
г) x 1−1 = y−−12 = z +21 и x −1 2 = y 1+ 3 = z −25 .
817. Вычислить расстояние между параллельными прямыми
а) |
|
x |
= |
y −3 |
= |
z − 2 |
и |
x −3 |
= |
y +1 |
= |
|
z − 2 |
; |
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
б) |
x − 2 |
= |
y +1 |
= |
z |
|
и |
|
x − 7 |
|
= |
y −1 |
= |
z −3 |
|
; |
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
2x + 2y − z −10 |
= 0, |
и |
x + 7 |
= |
y −5 |
= |
z −9 |
. |
||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x − y − z − 22 = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
818.Найти расстояние точки Р(7; 9; 7) от прямой
x−4 2 = y 3−1 = 2z .
819.На прямой 1x = y +2 7 = z−−13 найти точку, ближай-
шую к точке (3; 2; 6).
820. Даны вершины треугольника А(4; 1; – 2), В(2; 0; 0), С(– 2; 3; –5). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В.
821. Составить уравнения биссектрис угла А треугольника, данного в задаче 819.
822. Найти расстояние от точки Р(2; 3; – 1) до прямой
2x − 2y + z + 3 = 0,
3x − 2y + 2z +17 = 0.
823. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(4; 3; – 2) параллельно
а) вектору a ={3; 6; 5};
x + 3y + z − 6 = 0,
б) прямой 2x − y − 4z +1 = 0.
136
§ 5.3. ирflП‡fl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
824. Найти уравнение прямой. проходящей через точку
(3; – 2; 5):
а) параллельно оси Оz;
x − y + z −1 = 0,
б) параллельно прямой 2x + y − 4z + 3 = 0.
825.Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(– 4; 2; 2) и пересекающей ось Oz под прямым углом.
826.Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М(1; – 1; 2) и перпендикулярной векторам a ={2; 2; 3} и
b= {−2; 5; 0}.
827.Составить каноническое уравнение прямой, проходя-
щей через точку М(1; 3; – 2) и образующей с осями Ox, Oy, Oz углы 120º, 60º, 45º соответственно.
§5.4. ирflП‡fl Л ФОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
1. Синус угла между прямой |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
и |
|
l |
m |
n |
|||||
плоскостью Ax +By +Cz+D=0: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sinθ = |
Al + Bm +Cn |
|
A2 + B2 +C2 l2 + m2 + n2 . |
(5.4.1) |
Условие параллельности:
Al +Bm +Cn =0. (5.4.2)
Условие перпендикулярности:
|
A |
= |
|
B |
= |
C |
. |
(5.4.3) |
|
l |
|
m |
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|||
2. Для определения |
|
точки пересечения |
прямой |
|||||
x −l x0 = y −my0 = z −nz0 с плоскостью Ax+By+Cz+D=0 нужно
137
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
параметрические уравнения прямой x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt подставить в уравнение плоскости вместо x, y, z и решить полученное уравнение. При этом:
а) если Al + Bm +Cn ≠ 0, то прямая пересекает плоскость; б) если Al + Bm +Cn = 0, то прямая параллельна плоскости;
в) если Al + Bm +Cn = 0 и Ax0 +By0 +Cz0 +D0 = 0, то прямая лежит в плоскости.
3. Условие расположения двух прямых
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
|
и |
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
= |
z − z1 |
|
||
|
l |
m |
|
l |
|
m |
n |
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||
в одной плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x1 − x0 |
y1 − y0 |
z1 − z0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
m |
|
n |
|
= 0. |
(5.4.4) |
|||||
|
|
|
|
l1 |
|
|
m1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
||
бДСДзаь
828. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
а) |
x −12 |
|
|
= |
y −9 |
= |
|
|
z −1 |
|
|
и 3x +5y – z–2 = 0, |
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
б) |
x +1 |
= |
|
y −3 |
= |
z |
и 3x –3y +2z–5 = 0, |
|||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
в) |
x − 7 |
|
= |
|
y − 4 |
|
= |
|
z −5 |
|
и 3x–y +2z– 5 = 0, |
|||||||||
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
г) |
|
x −13 |
|
= |
|
y −1 |
= |
z − 4 |
и x +2y – 4z+1 = 0, |
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
x −2y + z −4 = 0,
д) и 3x +2y +z = 0,
x + y − z + 2 = 0
138
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5.4. ирflП‡fl Л ФОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В |
е) |
x −1 |
= |
|
y +1 |
= |
z |
и 2x +3y +z– 1 = 0, |
|||||||||||||
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||
ж) |
|
x + 3 |
= |
|
y − 2 |
= |
z +1 |
|
и x– 2y +z– 15 = 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|||||
з) |
|
x + 2 |
= |
|
y −1 |
= |
z −3 |
|
и x +2y – 2z+6 = 0. |
|||||||||||
|
|
− 2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
829. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; – 2; 1) перпендикулярно прямой
x −2y + z −3 = 0,x + y − z + 2 = 0.
830. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
x − 2 |
= |
y +1 |
= |
z −3 |
и |
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 3 |
. |
||
3 |
2 |
|
− 2 |
3 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
||||||
831.Найти точку Q, симметричную точке Р(3; – 4; – 6) от-
носительно плоскости, проходящей через точки М1(– 6; 1; – 5),
М2(7; – 2; – 1), М3(10; –7; 1).
832.Найти точку Q, симметричную точке Р(–3; 2; 5) относительно плоскости, проходящей через прямые
x − 2y + 3z −5 |
= 0, |
3x + y |
+ 3z + 7 = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
||
x − 2y − 4z + 3 = 0 |
5x −3y + 2z + 5 = 0. |
|
|||||||
833. Составить уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
||||||
прямую |
x −1 |
= |
y + 2 |
|
= |
z − 2 |
перпендикулярно к плоскости |
||
|
−3 |
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
3x +2y – z–5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
834. Составить уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
||||||
2x + y − 6z + 3 = 0,
точку М(2; –3; 0) и прямую x − 2y + 2z − 6 = 0.
139
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
835. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x −3y + 5 = 0,
прямую 2x + y + z − 2 = 0 и точку М(0; 1; 2).
836.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; –3; 6) перпендикулярно прямой
x2−3 = y1−1 = z−+25 .
837.Найти величину угла между прямой
|
x −3 |
= |
|
|
y − 6 |
|
|
|
= |
z + 7 |
|
и плоскостью 4x –2y – 2z– 3 = 0. |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
− 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
838. Найти величину острого угла между прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x − y + z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2x + y − z −3 = 0 и плоскостью 2x +y +2z– 5 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
839. Установитьвзаимноерасположениепрямойиплоскости: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = |
|
2 −4t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y = t, |
и 5x– 6y+2z– 10 = 0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −3 + 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
x +1 |
= |
y − 2 |
|
|
= |
z + 4 |
и 3x+y – 4z– 15 = 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
840. Установитьвзаимноерасположениепрямойиплоскости: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
− y + 4z − |
6 = 0, |
|
и 3x–y+6z– 12 = 0; |
||||||||||||||||||||||||||
а) |
2x + y − z + 3 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
б) |
|
x |
= |
|
y + 3 |
= |
z + 7 |
|
|
и 5x– z= 4. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
841. Написать уравнение плоскости, проходящей через па- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
раллельные прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x +1 |
= |
|
|
|
y −1 |
= |
z + 2 |
|
и |
x − 2 |
= |
|
y + 3 |
= |
z |
. |
|||||||||||||||
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
− 2 |
|
−1 |
||||||||||||||||
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|