Kretov_vse

1060. ϕ(x) =

x2

−1

. Доказать,

что limϕ(x) =

3

.

Каково

x2

+1

5

x→2

должно

3

быть

δ ,

чтобы

для

0 < |x – 2| < δ

имело

место

|ϕ(x) −

| < 0,001?

5

2x при −2 < x <1,

1061. Найти предел функции

при x =1,

f (x) = 1

2x при 1<x<3

в точках x =

1

; x =1; x =1,001.

2

1062. Найти

предел функции

2

при x

≠ 0,

в

ϕ(x) = x

2

при x = 0

точках x = −1;

x = −0,001;

x = 0;

x = −0,01.

1063. Существует ли предел функции

f (x) =

3x при

−1 < x ≤1,

вточках x =

1

;

x =1; x =1,1?

1 < x ≤ 3

2x при

2

1064. Существует ли предел функции

3x при−1 < x <1,

при

x =1,

в точках x = 0; x =1?

a) f (x) = 2

2

при

1 < x < 2

3x

2

+1

при −1 < x < 2,

x

в точках x = 1; x = 2; x = 3?

б) ϕ(x) =

−3 при 2<x ≤ 4

x3

1098. lim(1− x)tg

π x .

1099. lim tgx −sin x .

x→1

2

x→0

x3

cos

x

−sin

x

2cosx −1

1100. lim

2

2

.

1101. lim

.

x→π

cosx

x→π

1−tg2 x

2

4

1104.

Найти правый и левый пределы функции у= Е(х) в

точках: х= – 2; – 1; 0; 1; 2.

y ={x}

1105.

Найти правый и левый пределы функции

в

точках: х= 0; + 1; + 2; + 3.

1106.

Найти правый и левый пределы функции

f (x) =

x

и

x

ϕ(x) =

| x | в точке х = 0.

x

1107.

Найти

правый

и

левый

пределы

функции

f (x) =

x3 −1

в точке х = 1.

x −1

1108.

Найти

правый

и

левый

пределы

функции

f (t) =

t

в точке t = 0.

| sin t |

1109.

Найти правый и левый пределы функции

x sin

1

при −∞< x<0,

x

в точке х = 0. Существует

f (x) =

1

sin

при 0< x < −∞

x

1116. f (x) =

x −1

.

Доказать, что lim f (x) =1. Каково

x + 2

x→∞

1117. ϕ(x) =

x − 2

.

Доказать, что

lim

ϕ(x) =

1

.

Каково

2x

x→∞

2

должно

быть

N > 0,

чтобы для

|x| > N

имело

место

ϕ(x) − 1

< 0,001?

2

1118. ψ (x) =

x2 +1 − x. Доказать, что

lim ψ (x) = 0. Ка-

x→+∞

ково должно быть N > 0, чтобы для x > N

имело

место

ψ (x) −0

< 0,001?

176

1119.

ϕ(x) =

sin x

.

Доказать,

что

limϕ(x) = 0.

Каково

2x

x→∞

должно

быть N > 0,

чтобы для

|x| > N

имело

место

ϕ(x) −0

< 0,0001?

1120.

Существует ли предел функции f (x) = x sin x

при

х→∞; х→+ ∞; х→– ∞?

f (x) = cosx

1121.

Существует

ли предел

функции

и

1132.

lim

lnα x

(α > 0,

β > 0).

1133. lim

x5

.

xβ

x→+∞

x→+∞ 2x

1134.

lim

10x4 +3x3 +1

.

1135. lim 10x (x6

+ x4 +1).

x→+∞

(1,1)x

x→−∞

lim

a xn

+ a xn−1

+... + a

(a >1).

1136.

0

1

n

x→+∞

ax

1137.

lim(

x2 +1 − x2 −1).

x→∞

1138.

lim (

x2 + x −1 − x2 − x +1).

x→+∞

дела, доказать,

что

lim

(−1)E ( x)

= −∞.

Каково должно быть

x −1

x→1

δ > 0 ,

чтобы

для

| x −1|< δ имело

место неравенство

(−1)E ( x)

< −1000 ?

x −1

1152. Опираясь только на определение бесконечного пре-

дела, доказать,

что lim

(−1)E ( x)+1

= +∞.

Каково должно быть

x2 −4

x→2

178

§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË

δ > 0 ,

чтобы для

| x − 2 |< δ имело

место неравенство

(−1)E ( x)+1

>10000 ?

x2 − 4

1153. Существует

ли конечный или

бесконечный предел

Найти:

1154.

lim

sin x

.

1155. lim

| tg(x −1) | .

x→0

x3

x→1

(x −1)2

(x +3)(−1)E ( x)

sin x(−1)E ( x)

1156.

lim

.

1157. lim

.

x2 −9

x2

x→3

x→0

1158.

lim

x2 + 2

.

1159. lim (x5

−3x4 +6x −1).

x→+∞

x

x→−∞

1160. lim

(a0 xn + a1xn−1 +... + an ), где а0, а1, …, an — дей-

x→∞

ствительные числа, a0

≠ 0, n — натуральное число.

1161. Существует

ли

бесконечный

предел функции

ϕ(x) = x3 sin x и ψ (x) = xtgx при х→+ ∞; х→– ∞?

СУФУОМЛЪВО¸М˚В Б‡‰‡МЛfl

Найти пределы:

1162.

lim(x3 +5x2 +6x +1).

1163. lim

x2 −25

.

x→−1

x→5

x −5

179

1176.

lim

7x2 +5x +1

.

1177.

lim

5x3 − 7x

.

3

+14x2 +

2x

1 − 2x3

x→∞

x→∞

1178.

lim

2x −3

.

1179.

lim

2x3 + 4

.

2 + 2

x2 +5

x→∞ x

x→∞

1180.

lim

4x2 +1 − x

.

1181. lim