Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5513 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Балтийский федеральный университет им. И.Канта
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kretov_vse

.pdf
Скачиваний:
133
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
3 Мб
Скачать
☆

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

2756. Используя равенство

+ cos2x +... +cosnx, доказать, что

 

sin n +

1

x

1

 

 

 

 

 

2

 

=

+cosx +

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

2 x

 

 

 

 

 

π

sin n

+ 1

x

 

 

∫

 

 

2

 

 

dx =π.

2sin

1

 

 

 

0

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2757. Доказать, что

если ϕ(x) =

1

a

 

+ a cos x + b sin x +

 

 

 

 

2

 

0

1

1

+ a2 cos 2x + +b2 sin 2x + ... + an cos nx + bn sin nx,

k ≤ n (k иn —

натуральные числа), то

 

 

 

 

 

 

а)

2∫π ϕ(x)dx =πa0 ; б)

2∫π ϕ(x)coskxdx =πak ;

 

 

0

0

 

 

 

 

 

в)

2∫π ϕ(x) sin kxdx =πbk .

 

 

0

 

 

Вычислить интегралы:

 

2758. ∫1

arc sin xdx.

2759. ∫3 ln(x +3)dx.

 

0

 

0

 

 

 

 

π

 

2761. ∫1

xe−xdx.

2762. ∫2

x sin xdx.

 

0

 

0

 

 

 

 

π

 

2764. ∫a

a2 − x2 dx.

2765. ∫2 ex sin xdx.

 

0

 

0

 

2760. ∫1 xarctgxdx.

0

2763. π∫x2cosxdx.

0

281

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2766. Доказать, что если f ''(x) — непрерывная функция на отрезке [a;b], то справедлива формула

∫b xf ''(x)dx =[bf '(b) − f (b)]−[af '(a) − f (a)].

a

2767. Доказать, что если

f (n) (x) и F (n) (x) — непрерыв-

ные функции на отрезке [a;b], то справедлива формула

∫b F(x) f (n) (x)dx = f (n−1) (x)F(x)

 

b − f (n−2) (x)F '(x)

 

b +... +

 

 

a

 

 

 

a

 

 

a

+(−1)n ∫b

f (x)F (n) (x)dx, в

частности

∫b e−x xndx = −e−x (xn +

a

 

 

 

 

a

+ nxn−1 +... + n!) ba.

 

 

 

π

 

 

 

2768. Показать, что если un

= ∫2 sinn xdx,

то un = n −1

un−2 .

 

 

0

 

n

 

Отсюда определить un .

 

 

 

 

 

2769. Доказать равенства:

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

а)

∫2 cosm x cos(m + 2)xdx = 0;

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

б)

∫2 cosm x sin(m + 2)xdx =

1

.

 

 

 

m +1

 

 

 

0

 

 

 

 

2770. Показать, что среднее значение функции f (x) , непрерывной на отрезке [a;b], есть предел среднего арифмети-

282

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

ческого из значений этой функции, взятых через равные промежутки аргумента х.

2771. Определить среднее значение функции y = sin ax на

отрезке 0;

π

, в частности при а= 1.

 

a

 

2772. Определить среднее значение обратных величин всех положительных чисел, лежащих между a и b, в частности при a = 1 и b = 2.

2773. Определить среднее расстояние точки М, лежащей на окружности радиуса r, от всех других точек этой окружности.

2774. Определить среднюю длину всех положительных орди-

натэллипса

x2

+

y2

=1, вчастностиокружности x2 + y2 =1.

a2

b2

 

 

 

2775. Показать, что средняя длина всех радиусов-векторов, проведенных из фокуса эллипса ко всем точкам верхней ее половины, равна малой полуоси b.

2776. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента. Основание его а м, глубина h м. Определить среднюю глубину желоба.

2777. Тело, падающее на землю из состояния покоя, прой-

дя отрезок s = s1, приобретает скорость v1 =

2gs1 . Показать,

что на пройденном пути s средняя скорость v

 

 

равна 2 v .

1

 

cp.

 

 

3 1

2778. В динамо-машине переменного тока электродвижу-

щая сила E выражается формулой

E = E sin

2πt

,

где Т —

 

 

 

0

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πt

 

период, измеренный в секундах, E

 

— амплитуда,

 

—

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

фаза. Определить среднее значение Ecp. электродвижущей силы Е и эффективную электродвижущую силу, равную квад-

283

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

ратному корню из среднего значения квадрата электродвижу-

щей силы Е за время от t = 0 до t = 12 T.

С помощью определенных интегралов требуется найти пределы сумм. Каждую сумму при этом необходимо так преобразовать, чтобы она стала интегральной суммой некоторой функции:

2779.

lim

1

 

+

 

 

1

 

+...+

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2780.

lim

 

1

+

 

2

+...+

2n

−1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

2

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2781.

lim

 

 

1

 

 

+

 

 

+... +

 

n

 

,

где

 

k > 0.

 

 

 

 

k +1

 

 

 

k

+1

 

k +1

 

 

 

 

 

n→∞

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить приближенно 15 + 25 +... +1005.

 

 

 

 

2782.

lim

 

 

 

n

 

 

 

+

 

 

 

n

 

 

 

+...

+

 

 

 

n

 

.

 

 

2

 

 

2

 

n

2

+ 2

2

 

n

2

+(n −1)

2

 

 

n→∞

n

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2783.

lim

π

sin πa

 

+sin+

2πa

... +sin

 

(n −1)πa

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

2784.

lim

n 1 2 3 ... n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2785. ∫2

(x2 +1)dx.

 

 

 

2786. ∫1

(

 

x − x2 )dx.

2787.

π∫sin xdx.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2788. π∫sin 2xdx.

0

284

2789. 3∫π x sin xdx.

2π

2790. ∫e ln xdx.

1

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

 

 

 

 

π

π

 

 

2791. ∫1

 

 

dx

. 2792. ∫4 tg5 xdx.

2793. ∫2 sin3 ϕdϕ.

 

2

 

−1 x

 

+ 2x + 2

0

π

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

π

 

 

π

 

 

 

2

 

 

 

2

3

x

2794. ∫cos3ϕdϕ.

2795. ∫cos2ϕ sin3 ϕdϕ.

2796. ∫e−

 

dx.

3

0

2797. ∫1 xe−x2 dx.

−1

0

2798. ∫1 x2e−xdx.

−1

0

2799. ∫3 arctgxdx.

0

2800. ∫R

x3

R2 − x2 dx

(R > 0).

2801. ∫e ln2 xdx.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2802. ∫2

 

dx

.

2803. ∫3

(x +1)2 dx. 2804. ∫1

(2 − x − x2 )dx.

2 +cosx

0

 

 

1

 

 

−2

 

6

 

− x −

6

 

0

x+1

dx.

 

2805. ∫

7

x

dx.

2806. ∫e

 

 

1

 

 

 

 

−1

 

 

 

2807. π∫(7 +12cosϕ +6cos2ϕ +cos3ϕ) sinϕdϕ.

0

2808. ∫0 (1+ 4cosϕ +6cos2ϕ + 4cos3ϕ + cos4ϕ) sinϕdϕ.

−π

ππ

2809. ∫2 sin3 tdt.

2810. ∫2 cos4αdα.

2811. ∫8

 

4

3 x −

2

dx.

3

0

 

0

 

 

1

 

 

 

x

3

dx

 

 

1

dx

 

 

 

8

dx

2812. ∫0

 

 

−∫2

 

 

 

∫3

 

. 2813.

 

. 2814.

 

.

x2 −6x −16

x2 + 4x +13

x2 −6x +34

285

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2815.

−∫1

 

dx

 

. 2816. ∫1

dx

 

 

. 2817.

∫6

xdx

.

 

 

 

2

 

 

2

 

 

−2

 

5 −4x − x

 

 

0

6 −4x −

2x

 

 

1

x +3

2818. ∫3

 

xdx

.

2819. ∫a

x2

a2 − x2 dx.

2820. ln∫2

ex −1dx.

 

2

 

0

 

4 − x

0

 

 

 

0

 

 

 

2821. ∫1 xex dx. 2822. 2∫π xcos2 xdx.

0 0

Оценить определенные интегралы:

2823. J = π∫

4 +5sin2 xdx.

2824. J = ∫0

9 −5cos2 xdx.

0

 

 

π

 

 

 

 

 

− 2

1

dx

 

1,5

dx

 

2825. J = ∫0

.

2826. J = ∫0

.

x4 +1

2 +sin x

§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚

Определение определенного интеграла было дано в предположении, что промежуток [a,b] конечен и функция f(x) не-

прерывна на нем.

Определение 1. Несобственные интегралы первого рода определяются следующим образом:

+∞∫ f (x)dx = blim→+∞∫b

f (x)dx, ∫b

f (x)dx = alim→−∞ ∫b

f (x)dx,

a

a

 

−∞

 

a

 

+∞∫

f (x)dx = alim→−∞ ∫c

f (x)dx + blim→+∞ ∫b

f (x)dx,

−∞

 

a

 

c

 

 

где с — произвольное число, обычно с= 0.

286

§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚

Определение 2. Несобственные интегралы первого рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то — расходящимися.

Признаки сходимости и расходимости:

1. Если на [a, +∞) непрерывные функции f(x) и ϕ(x) удовлетворяют условию 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из сходимости инте-

грала +∞∫ϕ(x)dx следует сходимость интеграла +∞∫ f (x)dx, а из

a

 

 

a

 

 

расходимости интеграла

+∞∫

f (x)dx следует расходимость ин-

 

 

a

 

 

 

теграла +∞∫ϕ(x)dx (признак сравнения).

 

 

a

 

 

 

 

 

2. Если при x [a, +∞) ,

f (x) > 0, ϕ(x) > 0 и существует

 

f (x)

 

+∞

 

конечный предел lim

= k ≠ 0, то интегралы

 

f (x)dx

ϕ(x)

a

x→+∞

 

 

 

 

 

∫

 

и +∞∫ϕ(x)dx сходятся или расходятся одновременно (предель-

a

ный признак сравнения).

3. Если сходится интеграл +∞∫| f (x) | dx, то сходится и ин-

a

теграл +∞∫ f (x)dx, который в этом случае называется абсолют-

a

но сходящимся.

Определение 3. Если функция y = f (x) непрерывна в промежутке [a, +∞) и имеет разрыв второго рода при х=b, то

287

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

несобственный интеграл второго рода определяется следующим образом:

∫b

f (x)dx = limε→0 b∫−ε

f (x)dx,

a

a

 

если предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично,

если функция y = f (x) терпит бесконечный

разрыв в точке x = a , то полагают ∫b

f (x)dx = limε→0 ∫b

f (x)dx .

 

 

 

a

 

a+ε

 

Если функция терпит разрыв второго рода во внутренней

точке c [a,b],

то ∫b

f (x)dx = ∫c

f (x)dx + ∫b

f (x)dx. В этом

 

a

a

 

c

 

 

случае интеграл называется сходящимся, если оба несобст-

венных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Признаки сходимости и расходимости:

1. Если на

[a, b) f(x) и ϕ(x)

непрерывны, при x = b тер-

пят разрыв

второго рода

и удовлетворяют условию

0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из сходимости интеграла ∫b ϕ(x)dx следу-

 

 

a

ет сходимость ∫b

f (x)dx , а из расходимости ∫b

f (x)dx следует

a

a

 

расходимость ∫b ϕ(x)dx .

a

2. Если f(x) и ϕ(x) непрерывны на

[a,b) и в точке x = b

терпят

разрыв второго рода и

существует

 

предел

x→b

f (x)

 

b

 

b

 

= k, 0 < k < ∞, то интегралы

∫

f (x)dx и

∫

ϕ(x)dx

lim

ϕ(x)

a

a

 

 

 

 

сходятся или расходятся одновременно.

288

§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚

3. Если функция f(x), знакопеременная на [a,b], имеет

разрыв в точке x = b , и несобственный интеграл ∫b | f (x) | dx

a

сходится, то сходится и интеграл ∫b f (x)dx .

a

Замечание. В качестве эталона для сравнения функций

часто берут функцию ϕ(x) = 1 α . Можно показать, что

(b − x)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫a

dx

 

 

(α > 0)

сходится при

 

α <1

и расходится при

(b − x)α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α ≥1. Это же относится и к ∫a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x −a)α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бДСДзаь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить несобственные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞ dx

 

 

 

 

∞

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

dx

 

 

 

 

 

 

 

2827.

∫1 x3 .

 

2828. ∫0

 

. 2829.

∫0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 4

1+ x3

 

 

 

 

 

 

 

2830.

∞∫xe−ax2 dx

(a > 0).

2831.

∞∫

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

(1+ x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

dx

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

2832.

∫1

 

.

 

2833. ∫0

xdx

.

 

 

2834. ∫1

xdx

.

 

(1+ x)

x

 

(1+ x)2

 

 

(1+ x)2

 

 

Определить, какие из интегралов сходятся:

 

 

 

 

 

 

 

∞ dx

 

 

 

 

∞ dx

 

 

 

 

∞

 

 

 

xdx

 

 

 

 

∞

x2dx

 

2835.

 

 

 

.

2836.

∫

5 .

2837.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 2838.

 

 

 

 

.

∫

x

∫ x2 +c2

∫ x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x +1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

289

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

∞

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

∞

∞

 

 

 

 

 

2839. ∫

 

 

 

 

 

 

 

.

2840. ∫cosxdx.

2841. ∫xcosxdx.

 

 

 

4

 

 

3

 

 

1

2x

 

 

− x

 

+

2x −1

 

a

a

 

 

 

 

 

∞

 

n

 

 

−x

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

x6dx

 

2842. ∫x

 

e

 

 

dx

(n — натуральное число).

2843. ∫

 

 

 

.

 

 

 

x

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

+1

2844. Доказать, что

если

∞∫xϕ(x2 )dx сходится, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

∞∫ xϕ(x2 )dx = 0; если же сходится ∞∫ϕ(x2 )dx, то

∞∫ϕ(x2 )dx =

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

−∞

 

 

 

= 2∞∫ϕ(x2 )dx.

0

Вычислить несобственные интегралы:

1

dx

 

2

xdx

 

 

1

 

(x +1)dx

 

2845. ∫

 

.

 

2846. ∫

 

 

.

2847. ∫

 

 

 

 

 

 

.

 

x

x −

1

3 (x −

1)

2

 

0

 

1

 

0

 

 

 

 

2848. ∫1

dx

 

. 2849. ∫1

x ln xdx.

2850. ∫2

 

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

0

1− x

0

 

 

 

0 x

 

−4x +3

 

2851. Доказать, что интеграл

∫b (x −a)−s dx

сходится, если

s <1, и расходится, если s ≥1.

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2852. Доказать, что если ϕ(x) непрерывна в полуинтервале

a < x ≤ b

и

0 ≤ϕ(x) <α(x −a)−s , где

s <1,

то

интеграл

∫b ϕ(x)dx

сходится. Если же ϕ(x) >α(x −a)−s ,

где

s ≥1, то

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл ∫b ϕ(x)dx расходится.

a

290

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности