Kretov_vse

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

то есть не зависит от того, являются ли х и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Определение. Функция u = u(x; y) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F (x; y; u)= 0, неразрешенным относительно u.

Если функция F(x; y;u) дифференцируема по переменным

§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВfl‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

v = x2 + y2 .

354

§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВfl‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

§10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡fl Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ

Пусть M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) фиксированная точка на поверхности σ, заданной функцией z = f (x; y) или уравнением F(x; y; z)= 0.

Определение 1. Касательной плоскостью к σ в точке M 0 называется плоскость α, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на σ черезM 0 .

Определение 2. Нормалью называется прямая n, проходящая через M 0 перпендикулярно α.

Из определения α и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости α и направляющий вектор прямой n совпадают.

Если α задана функцией z = f (x; y), то уравнения α и n со-

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Если α задана уравнением: F(x; y; z)= 0, то уравнения α и

бДСДзаь

Составить уравнение касательной прямой и нормали к кривой y = y(x), заданной уравнением F(x; y)= 0 в точке

M 0 (x0 ; y0 ):

3498. x3 + 2xy3 − yx4 −2 = 0 , M0 (1;1). 3499. x3 y − y3 x = 6 , M0 (2;1).

3550. x2 y2 − x4 − y4 +13 = 0 , M0 (2;1).

3501. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x; y), определенной неявно уравне-

нием x2 + 3y 2 − 4z 2 =15 в точке M0 (2; −3; 2).

3502. На сфере x2 + y 2 + z 2 = 676 найти точки, где касательные плоскости параллельны плоскости 3x + 4 y +12z =15 .

3503. К поверхности x2 + 2 y 2 + 3z 2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + 4 y + 6z = 0 .

ные плоскости, отсекающие на координатных плоскостях равные по величине отрезки.

356

§ 10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡fl Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ

3505. На поверхности x2 + y 2 − z 2 = 2x найти точки, в ко-

торых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.

точках (0, ± b, c).

Доказать, что уравнение касательной плоскости α, проведенной к данной поверхности в данной точке M 0 (x0 ; y0 ; z0 ), имеет указанный вид:

§10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

ˉЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрfl‰НУ‚

Пусть задана дифференцируемая функция z =f(x; y).

357

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Определение 1. Второй частной производной по х называется функция:

если существует.

Определение 2. Второй частной производной по y называется функция:

если существует.

Определение 3. Смешанной частной производной второго порядка называется функция:

Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой.

Определение 4. Выражение

d 2 z = d (dz)= ∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 (10.7.4)

∂x2 ∂x∂y ∂y2

называется дифференциалом второго порядка для функции z. По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, в случае не-

прерывности производных, равны между собой.

Число разных частных производных порядка n от функции двух переменных равно n +1:

Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:

358

§ 10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В Л ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрfl‰НУ‚

Выражение для d ′′z формально можно записать в виде

по аналогии с формулой бинома Ньютона.

бДСДзаь

3513. Найти все частные производные первого, второго и третьего порядка для функции z = x3 − x2 y − y3 .