Kretov_vse
.pdf
§ 8.7. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ÁÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
|
|
arc sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2681. |
∫ |
2 |
|
dx. 2682. ∫ |
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 − x |
|
|
x2 +10x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2683. ∫ |
xarc sin xdx |
. 2684. |
∫sin(ln x)dx. 2685. ∫ |
3 + 2x − x |
2 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
1− x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2686. |
∫tg3 xdx. |
|
|
|
2687. ∫x2arctg(2x +1)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2688. |
∫cosmx cosnxdx (m + n ≠ 0, m −n ≠ 0). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2689. |
∫ |
ln(cosx)dx |
. |
2690. |
∫ |
ln(x + |
x2 −9) |
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2691. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
2692. ∫ |
|
|
|
|
dx |
. 2693. ∫ |
|
dx |
|
|
. |
||||||||
sin |
2 3x |
+1 |
|
3 +sin 5x |
cos3x + 2sin 3x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2694. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
2695. ∫ |
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
cos2x −sin 2x + 2 |
|
2+3cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2696. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2sin2 3x −3cos2 3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
273
É Î ‡ ‚ ‡ I X
йикЦСЦгЦззхв азнЦЙкДг
§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡
Определение 1. Пусть на отрезке [a,b] определена функция y = f (x). Отрезок [a,b] разобьем на n частей точками
a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b. |
В каждом из элементарных от- |
резков длины ∆x = xi − xi−1 |
(i=1,…,n) произвольным образом |
n
выберем точку zi и составим сумму ∑ f (zi )∆xi , которая на-
i=1
зывается интегральной суммой функции y = f (x) в промежутке [a,b]. Обозначим λ длину наибольшего из элементарных отрезков, то есть λ = max ∆xi .
Определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a,b] называется предел ее интегральной суммы, когда
число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
|
b |
n |
|
|
∫ f (x)dx =limλ→0 ∑ f (zi )∆xi . |
(9.1.1) |
|
|
a |
i=1 |
|
Если функция |
y = f (x) непрерывна, то предел существует |
||
и конечен. |
|
|
|
Свойства определенного интеграла: |
|
||
1. ∫b |
f (x)dx =∫b |
f (t)dt, то есть величина определенного ин- |
|
a |
a |
|
|
теграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
274
§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡
2. |
∫a |
f (x)dx = 0 . |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
3. |
∫b |
f (x)dx =− ∫a |
f (x)dx . |
|
|
||
|
a |
|
b |
|
|
|
|
4. |
∫b |
f (x)dx =∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx, a < c < b . |
|||
|
a |
a |
|
|
c |
|
|
5. |
∫b ( f1 (x) ± f2 (x))dx =∫b |
f1 (x)dx ± ∫b |
f2 (x)dx . |
||||
|
a |
|
|
|
a |
a |
|
6. |
∫b ñ f (x)dx = ñ∫b |
f (x)dx . |
|
||||
aa
7.Если f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b], то
∫b |
f (x)dx ≤ b∫ g(x) dx. |
a |
a |
|
8. Если М — наибольшее, а m — наименьшее значение f(x)
на [a, b], то m(b −a) ≤ ∫b |
f (x)dx ≤ M (b −a). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
9. ∫b |
|
f (x)dx = f (c)(b −a), c [a,b] — теорема о среднем. |
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
∫b |
f (x)dx |
|
≤ ∫b |
|
f (x) |
|
dx . |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
' |
= f (x) . |
||||||
11. ∫ f (t)dt |
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
275 |
||
|
|
|
§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ |
Число |
1 |
∫b |
f (x)dx называется средним значением |
|
|||
|
b −a a |
|
|
функции f(x) на отрезке [a;b].
Найти средние значения функций на указанных отрезках: 2707. f(x) = 3x на отрезке [−2; 2].
2708. |
f (x) = x2 |
на отрезке [0;1]. |
|
|
|||
2709. |
f (x) = 3x2 + 2x −1 на отрезке [1; 5]. |
|
|||||
2710. |
f (x) = 3x |
−2x +3 на отрезке [0; 2]. |
|
||||
2711. |
Не вычисляя интегралов, установить, какой из инте- |
||||||
гралов больше: |
|
|
|
|
|
||
а) ∫1 |
xdx или ∫1 |
x2dx; |
б) ∫2 |
xdx или ∫2 |
x2dx; |
||
0 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
ππ
в) ∫2 |
xdx или ∫2 sin xdx; |
г) ∫1 exdx или ∫1 ex3 dx; |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
ππ
2 |
n |
2 |
n+1 |
−2 |
|
1 x |
−2 |
x |
dx. |
|
д) ∫sin |
|
xdx или ∫sin |
|
xdx; е) ∫ |
|
3 |
|
dx или ∫3 |
|
|
0 |
|
0 |
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
2712. Пусть f(x) — непрерывно монотонная функция на
отрезке [a;b]. Доказать, что ∫b |
f (x)dx лежит между (b – a) f(a) |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
и (b – a) f(b). |
|
|
|
|
|
|
2713. Доказать, чтоинтеграл ∫2 |
dx |
больше |
1 |
именьше |
1 . |
|
10 + x |
|
|||||
|
0 |
|
6 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
277 |
