Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Балтийский федеральный университет им. И.Канта
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kretov_vse

.pdf
Скачиваний:
133
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
3 Мб
Скачать
☆

§ 8.2. б‡ПВМ‡ ФВрВПВММУИ

3.dx = 1a d(ax +c) .

4.xdx = 12 d(x2 ) .

5.xdx = 12 d(x2 +c) .

6.sin xdx = −d(cosx) .

7.cosxdx = d(sin x) .

8.exdx = d(ex ) .

9.1x dx = d(ln x) .

10.12 dx = dtgx . cos x

 

1

11.

sin2 x dx = −dctgx .

бДСДзаь

Вычислить следующие интегралы:

2201.

∫sin 3xdx.

2202.

∫cos5xdx.

2204. ∫

 

dx

 

 

 

∫

dx

 

.

2205.

 

.

sin2 nx

2 − x

2207.

∫

 

dx

.

 

2208. ∫e5xdx.

5

−3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2210. ∫emx+ndx.

2211.

∫

cosxdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

1+sin x

2203.

∫

dx

 

.

cos2mx

2206.

∫

 

dx

.

 

 

2x −5

 

 

 

 

 

 

2209. ∫e−2 x+3dx.

2212. ∫1sin+cos2xdx2x.

251

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

 

∫

xdx

 

∫

dx

 

 

 

∫

dx

2213.

 

 

 

.

2214.

 

.

2215.

 

.

x2 −a2

9 − x2

x2 +9

2216.

∫sin3 xcosxdx.

2217.

∫cos2 x sin xdx.

2218.

∫ex2 xdx.

2219.

∫

ln x

dx.

2220.

∫

dx

.

2221. ∫

x3 +1x2dx.

 

x ln x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

xdx

. 2223. ∫

 

 

 

 

 

 

1

 

2222.

a2 − x2 xdx.

 

2224. ∫(a2 +b2 x2 )2 xdx.

1+ x4

 

2225.

∫

 

dx

.

2226. ∫

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

2 +

x +

1

 

 

 

x +1

 

 

 

2228.

∫

3

x +1

 

dx.

2229.

∫

 

x +1dx

.

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

x +1

2231.

∫x

1+ xdx.

2232.

∫x 3 x −1dx.

2234.

∫3 3x −2dx.

2235.

∫e x dx.

 

 

 

2237.

∫

sin x

dx.

2238.

∫

1− x2 dx.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

2227. ∫ x + a2 .

2230.

∫

 

dx

.

x

 

 

 

 

x +1

2233. ∫

 

2x −3dx.

 

∫

 

dx

2236.

 

.

ex −1

2239. ∫

 

4 − x2 dx.

2240. ∫

x

2

+ a

2

dx.

 

 

 

2241. ∫

x2 + a2

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

2242. ∫

 

 

 

dx

 

 

.

2243. ∫

 

dx

.

 

 

 

(9 + x

2

2

 

x

 

 

 

 

)

 

9 + x

 

 

 

 

 

e

+1

 

 

 

 

2244. ∫

 

 

 

dx

 

 

.

2245. ∫

dx

 

.

2246. ∫

x2 −4

dx.

(1− x2 )

 

1− x2

(1+ x2 )2

x

252

§ 8.3. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ÔÓ ˜‡ÒÚflÏ

§ 8.3. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ÔÓ ˜‡ÒÚflÏ

Если u = f (x), v =ϕ(x) — дифференцируемые функции, то из формулы d(uv) = udv +vdu получается формула интегрирования по частям:

∫udv = uv − ∫vdu.

(8.3.1)

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функций. В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv — оставшаяся часть подынтегрального выражения, из которой можно определить v путем интегрирования.

В некоторых случаях формула интегрирования по частям применяется несколько раз для сведения данного интеграла к табличному. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

бДСДзаь

Вычислить следующие интегралы:

2247. ∫ln xdx.

ln xdx

2250. ∫ x2 .

2253. ∫xarctgxdx.

2256. ∫xex dx.

2259. ∫e−xcosxdx.

2248.

∫x ln xdx.

2249.

∫x2 ln xdx.

2251.

∫xcosxdx.

2252.

∫x sin xdx.

2254. ∫x2 sin xdx.

2255.

∫x ln2 xdx.

2257. ∫x2 e−xdx.

2258. ∫ex sin xdx.

2260.

∫ 1+ x2 dx.

2261.

∫

xdx

.

sin2 x

 

 

 

253

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2262. ∫sinxcosx3 x dx.

§ 8.4. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ

Интеграл

вида ∫

 

 

xdx

 

 

 

путем

выделения

полного

 

ax2 +bx +c

 

квадрата по

 

формуле:

 

 

ax

2

 

 

 

 

 

 

 

2

+

b

x

 

+c =

 

 

 

 

 

+bx +c = a x

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

b

 

 

b2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2

 

 

b2 −4ac

= a

 

x

 

+ 2x

 

+

 

 

 

 

−

 

 

 

+ c

= a

 

x

+

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2a 4a

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

сводится к одному из двух интегралов:

∫

du

 

 

1

 

arctg

u

+c;

 

 

 

 

=

 

 

 

 

(8.4.1)

u2 + d 2

 

d

d

∫

 

du

=

1

 

ln

 

u −d

 

 

+c.

(8.4.2)

 

 

 

 

 

u2 −d 2

 

2d

 

u + d

 

 

Интеграл ∫

 

 

mx + n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx сводится к интегралу (8.4.1) или

ax2 +bx +c

(8.4.2) и интегралу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

1

d(u2 ± d 2 )

1

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

= 2 ∫

 

 

= 2 ln

 

u

 

± d

 

+c (8.4.3)

u2 ± d 2

u2 ± d 2

 

 

 

 

 

 

 

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(ax2 +bx +c) = (2ax +b)dx ,

 

 

mx + n =

m

 

(2ax +b −b) + n =

 

m

(2ax +b) + n − bm ,

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

2a

254

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8.4. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ

 

 

mx + n

 

m

(2ax +b)dx

 

bm

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx =

 

 

2

 

+ n −

 

 

 

 

 

.

∫ax

2

+bx +c

2a ∫ax

+bx +c

∫ax

2

+bx + c

 

 

 

 

2a

 

 

При нахождении интегралов от дробных рациональных

функций, то есть функций вида Qm (x) = a0 + a1x +... + am xm , pn (x) b0 +b1x +... +bn xn

предварительно исключают целую часть путем деления (если

m ≥ n), а остаток

Nk (x)

(k < n) представляют в виде суммы

P (x)

 

 

 

n

 

элементарных дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Знаменатель остатка сначала раскладывают на

множители вида (x −a)µ и (x2 + px + q)ν , а сам остаток в со-

ответствии с полученным разложением — на сумму элементарных дробей следующим образом:

 

 

 

 

Nk (x)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

Nk (x)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

P (x)

 

(x −a)

µ

...(x

2

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px + q)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

A

+

 

 

 

A

 

 

 

+... +

 

 

Aµ

 

 

 

+... +

 

B x +C

+

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

x −a

 

(x

−a)2

 

 

(x

−a)µ

 

x2

+ px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

B2 x +C2

 

 

+... +

 

 

Bν x +Cν

 

.

 

 

 

 

(x

2

2

(x

2

ν

 

 

 

 

 

 

+ px + q)

 

 

 

 

 

 

 

+ px + q)

 

 

Каждому

линейному множителю кратности

µ ,

то есть

множителю

(x −a)µ ,

 

соответствует в разложении сумма µ

элементарных дробей вида

 

 

 

 

Ai

 

 

(i =1,2,..., µ),

а каждому

 

(x − a)i

 

квадратному множителю кратности ν , то есть множителю (x2 + px + q)ν , — сумма ν элементарных дробей вида

2Bi x +Ci i (i =1, 2,...,ν) .

(x + px + q)

255

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

Справедлива следующая формула, принадлежащая М. В. Остроградскому:

 

 

∫

P(x)

 

P1 (x)

 

+ ∫

P2 (x)

 

 

 

dx =

 

 

 

dx,

 

 

Q(x)

Q (x)

Q (x)

 

 

 

 

1

 

2

 

где

P(x)

— правильная дробь, Q1(x) — наибольший общий

Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

делитель

Q(x) и Q '(x), Q2(x)=

 

Q(x)

, P1(x) и P2(x) — много-

 

 

 

 

 

 

 

 

Q (x)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

члены степеней соответственно на единицу меньше степеней

многочленов Q1(x)

 

 

и

Q2(x),

определяемые

из тождества

 

P(x)

 

 

 

P (x)

 

'

 

 

 

P (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

+

 

2

 

 

методом неопределенных коэффи-

 

Q(x)

 

 

 

 

Q2 (x)

 

 

 

Q1 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циентов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бДСДзаь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2263.

∫

dx

.

 

 

2264. ∫

dx

.

2265. ∫

 

dx

.

 

 

 

5x +3

 

 

(2x +3)3

 

(5x −1)4

 

 

∫

 

dx

2267. ∫

 

dx

 

 

 

2268. ∫

 

x2dx

2269. ∫

x4dx

2266.

 

.

 

.

 

 

 

.

 

.

x2 +3

2x2 +1

 

x + 2

x −1

2270.

∫

x4 + 2x2

dx.

 

 

 

2271. ∫

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x2 +1

 

 

 

(x −1)(x + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x +3)dx

 

 

 

 

 

 

dx

2272.

∫

 

. 2273. ∫

(x −2)3

. 2274. ∫

 

.

(x +1)(x −2)

(x −1)2 (x +1)

2275.

∫

 

(x2 + 2)dx

 

 

. 2276. ∫

x4 +3x3 −1

dx.

 

 

 

 

 

 

(x +1)2 (x −1)

 

 

 

(x +1)2

 

 

 

 

 

 

 

256

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8.4. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ

 

∫

x5

−2x2 +3

 

dx.

 

 

2278. ∫

 

xdx

2277.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(x −2)2

x2 +3x + 2

 

∫

(x2 +3)dx

 

 

 

 

 

2280. ∫

 

(x5 + x4 −2)dx

2279.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x4 −4x2 + 4 .

x3

− x2 −6x

 

 

 

∫

 

dx

 

 

 

 

 

2282. ∫

 

 

 

 

dx

2281.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

x4

+ x2

 

 

 

 

(x2 + 2)(x −1)2

 

 

x7 dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

xdx

2283.

∫

 

. 2284. ∫

 

 

 

. 2285. ∫

 

 

 

 

.

1− x4

x2 + x +1

2x2 − x +1

 

∫

 

x3dx

 

 

2287. ∫

dx

2288. ∫

dx

2286.

 

 

 

.

 

 

 

.

 

.

 

x2

+ 2x +3

 

 

1− x3

1+ x3

 

∫

x5dx

 

 

2290. ∫

 

(x3 +1)dx

2289.

 

.

 

 

 

 

.

 

2 + x3

 

 

x(x2 + x +1)2

При вычислении интегралов типа ∫

 

 

 

xm

 

dx полезна

(axn +b)p

подстановка t = xd ,

где d — наибольший общий делитель чи-

сел m +1 и n.

Вычислить интегралы:

2291. ∫

x5dx

2292. ∫

 

x5dx

2293. ∫

 

x3dx

 

.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

.

x3 +1

 

x4 +1

 

(3x2 + 2)2

 

∫

x3dx

2295. ∫

x3dx

2296. ∫

x5dx

2294.

 

.

 

 

.

 

.

 

x8 +3

(x8 +1)2

x12 −1

 

 

dx

1

 

 

 

 

(x3 +3)dx

2297.

∫

 

.

2298. ∫

 

dx.

2299. ∫

 

 

 

.

x(x3 −5)

x(x5 + 2)

 

 

x(x6 + 4)

2300. С помощью формулы М. В. Остроградского вычислить следующие интегралы:

257

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

а) ∫

(x +1)dx

 

;

 

б) ∫

 

 

 

 

x6 +1

 

dx;

в) ∫

dx

;

(x2 + x −2)2

 

(x2 + x +1)2

(x4 −1)2

г) ∫

 

−2x5 +11x4 −

28x3 +37x2 −30x +14

dx;

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

−2x

+ 2)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) ∫

2x4 − 4x3

 

+ 24x2 − 40x

 

+ 20

dx;

 

 

 

 

(x −1)(x

2

 

− 2x + 2)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) ∫

 

 

− 4x3 − 4x2 + 2x

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x −1)

2

(x

2

+ x +1)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8.5. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË Ëðð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ

Интеграл ∫

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

путем выделения полного квад-

 

ax

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+bx +c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рата сводится к одному из интегралов:

 

∫

 

du

 

 

 

 

 

u

 

 

a2 −u 2

= arcsin a + c;

(8.5.1)

∫

du

= ln u +

u

2

+ a + c.

(8.5.2)

a2

+ u 2

 

Интеграл ∫R(x,

 

p1

 

p2

,..., x

pn

 

 

 

 

x

q1

,

x

q2

qn

) dx, где R(u, u1, …, un) —

рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой x =tn, где n — наименьшее кратное чи-

сел q1, q2, …, qn.

Интеграл∫R

ax + b

p1

ax + b

p2

q1

q2

x,

 

 

,

 

 

 

 

cx + d

cx + d

 

 

 

pn

 

ax + b qn

 

,...,

 

 

dx

 

cx + d

 

 

 

 

 

 

сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:

258

§ 8.5. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË Ëðð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ

 

ax + b

= t, где n — наименьшее кратное чисел q1, q2, …, qn.

 

cx + d

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл

∫R(x,

ax2 +bx +c)

вычисляется с

помощью

одной из трех подстановок Эйлера:

 

 

 

 

1)

ax2 +bx +c = y ± a x, если a > 0;

(8.5.3)

 

 

2)

ax2 +bx +c = xy ±

c, если c > 0 ;

(8.5.4)

 

 

 

3)

ax2 +bx +c = (x −α) y,

(8.5.5)

если ax2 +bx +c = 0 имеет действительные корни (α — один из корней).

Биномиальный дифференциал xm (a +bxn )p dx, где m, n, p — рациональные числа, можно интегрировать в трех случаях:

1)p — целое; x = tN, гдеN — общийзнаменательдробейm иn;

2)mn+1 — целое; a +bxn = tµ , где µ — знаменатель чис-

ла p;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

m +1

 

+ p — целое; ax−n +b = tµ , гдеµ — знаменатель

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бДСДзаь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2301. ∫

 

 

xdx

.

 

 

2302. ∫

xdx

.

 

 

2303. ∫

 

dx

 

 

.

1

 

 

3

 

 

 

3

x

2

 

 

+

 

x

 

 

 

1+ x

 

 

 

 

 

 

 

3x +

 

 

2304. ∫

 

x +

x + 3 x2

2305. ∫

2x + 3 x2 + 5 x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

3

 

2

 

5

 

4

 

dx.

 

 

 

 

 

x(1+

3

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x)

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

259

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2306.

2308.

2310.

2312.

2314.

2316.

2318.

2320.

2322.

2324.

∫

xdx .

 

 

 

3x + 3 x2

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

.

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 25 x2 +10 x3

∫

x +1 +1

 

 

 

 

dx.

 

 

 

x +1 −1

 

 

 

∫

 

dx

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(x +1)3 −(x +1)2

∫

(x +1)2

 

 

 

3 (x −1)5 dx.

 

 

 

∫

dx

.

(x −1)3 (x −2)

∫

 

dx

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4x2 + 2x +1

 

 

 

∫

 

dx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4 + 2x − x2

 

 

 

∫

dx

 

 

 

 

.

 

 

 

−2x2 +5x −1

 

 

 

∫ 4x2 −2x +1dx.

2307. ∫

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

−2

x +

3

 

 

x

+

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2309. ∫

 

 

 

2 + x

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2311. ∫

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2313. ∫

 

 

 

 

1

 

 

3 1+ 2x

dx.

 

 

 

(1−2x)

 

1−2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2315. ∫

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3

(x −1)

2

(x

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2317. ∫

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(1+ x)

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x +1

 

 

2319. ∫

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x − x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2321. ∫

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

.

(x −2)

−3 + 4x − x

2

 

 

 

2323. ∫

 

 

 

x2 −2x −1dx.

 

 

 

 

 

2325. Применяя подстановки Эйлера к интегралу

∫ 1dx− x2 = arc sin x +C, показать справедливость равенств:

260

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности