31.1 Основные формулы

Связь дебройлевской длины волны частицы с импульсом р

Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью частицы массой

где энергия частицы (круговая частота);импульсволновое число).

Групповая скорость свободно движущейся частицы

где неопределенности координат;неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат.

Соотношение неопределенностей:

для координаты и импульса

для энергии и времени

где неопределенность энергии данного квантового состояния;время пребывания системы в данном состоянии.

Вероятность нахождения частицы в объеме

где волновая функция, описывающая состояние частицы;функция, комплексно сопряженная с;квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности нахождения частицы вблизи точки с координатой х.

Для стационарных состояний

где координатная (амплитудная) часть волновой функции.

Условие нормировки вероятностей

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам отдо.

31.2. Примеры решения задач.

1. Волновая функция определена в области  x  L . Используя это условие нормировки, найдем величину А.

Решение. По условию нормировки волновой функции

(1)

где, как известно, n = 1,2,3,… Используя тригонометрическую формулу

,

вычислим интеграл

т. к. второе слагаемое равно нулю. Поэтому выражение (1) можно переписать в виде:

.

Откуда

.

2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т=10 эВ. Ис­пользуя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

, (1)

где — неопределенность координаты частицы (в дан­ном случае электрона);—неопределенность импуль­са частицы (электрона); —постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следо­вательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линей­ные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Соотношение неопределенностей (1) можно записать. в этом случае в виде

откуда

(2)

Физически разумная неопределенность импульса во всяком случае не должна превышать значения самого импульсар_х, т.е. . Импульс р, связан с кинети­ческой энергиейТ соотношением . Заменимзначением(такая замена не увеличит). Переходя от неравенства к равенству, получим

(3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо симво­лов величин подставим обозначения их единиц:

Найденная единица является единицей длины. Произведем вычисления: