§ 5 Примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения

Основные методы составления уравнений прямых наглядно можно продемонстрировать на примере построения уравнений линейных элементов треугольника .

Пример15. Треугольник задан координатами своих вершин:,и(Рис. 9)

Найти:

1. медиану;

2. среднюю линию ;

3. высоту ;

4. биссектрису ;

5. центр описанной окружности.

Решение.

1. Найдем медиану . Вычислим координаты точки середины отрезка .

. Уравнениенайдем по двум точкам:

.

2. Найдем среднюю линию .

Способ 1. Вычислим координаты середины стороны  точки .. Уравнениенайдем по двум точкам:

.

Способ 2. Найдем по точкеи направляющему вектору, в качестве которого можно взять вектор.

Вычислим: .

Тогда:

Очевидно, что для получилось то же уравнение, что и при первом способе.

3. Уравнение высоты найдем по точке и перпендикулярному вектору, в качестве которого можно взять вектор.

.

4. Биссектрису можно найти разными способами (Рис. 10). Но, если числовые данные в задаче специально не подобраны, то все эти способы приводят к громоздким вычислениям. Наиболее легким для запоминания является способ, основанный на следующем факте:

вектор суммы векторов одинаковой длины идет в точности по биссектрисе угла, образованного этими векторами (свойство ромба).

Поскольку требуется найти биссектрису угла , то возьмем два вектора, исходящих именно из этой вершины:и. Вычислим их длины:

; .

Очевидно, что их длины не равны. А теперь от векторов иперейдем к их ортами, векторам с тем же направлением, но одинаковой единичной длины.

; .

Построим новый вектор

.

Этот вектор уже можно использовать в качестве направляющего для биссектрисы, но работать с ним нелегко. Вместо него можно взять другой вектор, попроще.

Корни, конечно, никуда не исчезли, но, по крайней мере, не стало дробей.

По формуле (9) имеем: 

• 

Если Вам не нравится отрицательный коэффициент при , умножьте все уравнение на (1 ):

• 

5. Найдем центр окружности, описанной вокруг треугольника .

Он, как известно, находится в точке пересечения любых двух серединных перпендикуляров треугольника (Рис.11)..

Поскольку ранее были найдены координаты середин сторон и, найдем уравнения серединных перпендикуляров именно к этим сторонам:и.

Для имеем:

точка перпендикулярен

Для имеем:

точка перпендикулярен

Найдем точку пересечения полученных серединных перпендикуляров:

и

Воспользуемся формулами Крамера:

; ; .

;

Задачи для самостоятельного решения

15. Известны уравнения двух сторон ромба ,и уравнение одной из его диагоналей. Составить уравнение второй диагонали.Ответ: .

16. Известны уравнения двух сторон ромба ,и уравнение одной из его диагоналей. Составить уравнение второй диагонали.Ответ: .

17. Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и точка пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон. Ответ: ,.

18. Даны вершины треугольника ,и. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершинына биссектрису внутреннего угла при вершине.Ответ: .

19. Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через точкии.

Ответ:.

20. Точки иявляются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

Ответ:и

21. Найти прямые, принадлежащие пучку и перпендикулярные основным прямым пучка.

Ответ: ,.

22. Даны стороны треугольника: ;и. Составить уравнения медианы , проходящей через вершину, и высоты, проходящей через вершину.Ответ: ,.

23. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной являются отрезок прямой , концы которого лежат на осях координат.

Ответ: ,,или.

24. Доказать, что четырехугольник с вершинами ,,и– трапеция. Найти точку пересечения средней линии трапеции и высоты, опущенной из вершины С на сторону .

Ответ:

25. Вершины четырехугольника: ,,,. Доказать, что этот четырехугольник ромб. Найти точку пересечения перпендикуляра из вершины на сторонус прямой, проходящей через вершину и середину.

Ответ:

26. Даны три из четырёх вершин трапеции :. Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершиныэтой трапеции.

Ответ:

ГЛАВА 2. Плоскость

§ 1 Вступление

В аналитической геометрии плоскость это геометрическое множество точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению

.

общее уравнение плоскости;

уравнение плоскости в отрезках,

где абсцисса точки пересечения плоскостис осью;ордината точки пересеченияс осью, ааппликата точки пересеченияс осью.

§ 2 Вывод уравнения плоскости при разных способах ее задания.

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки ,и, не лежащие на одной прямой.

(15)

Чтобы получить общее уравнение плоскости , нужно символьно вычислить этот определитель, например, разложив его по первой строке.

Пример16. Даны вершины тетраэдра: ,,и. Найти уравнение грани.

Р

D(-1;0;5)

С(2;2;0)

А(3;-1;1)

В(-4;1;0)

ешение.Замечу, что эту задачу можно решать «вслепую», без чертежа. Но для лучшего понимания методов решения, чертеж (хотя бы схематический) лучше все-таки нарисовать.

Обозначимпроизвольная точка плоскости, в которой лежит основание.





• .

Окончательно .

• Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

(16)

Пример17.Даны вершины тетраэдра:,,и. Найти уравнение плоскости, проходящей через вершинуперпендикулярно ребру.

Решение.Искомая плоскостьизображена на Рис 13. Так как по условию плоскостьперпендикулярна боковому ребру, то векторперпендикулярен плоскости треугольника. Точка.

Тогда .

Пример 18. Известно, что точки: исимметричны относительно некоторой плоскости. Найти уравнение этой плоскости.

Р

B

ешение. Искомая плоскость изображена на Рис.14. Поскольку по условию точки исимметричны относительно плоскости, то они лежат на перпендикуляре к этой плоскости, проходящем черези. Так какиравноудалены от плоскости, то эта плоскость проходит через середину отрезка точку . Нарисуем вектори введем его аналитически. Вычислим координаты точки:. По формуле (16 ) построим уравнение искомой плоскости



/ поделим на ( 4) /   .

• Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум непараллельным векторам и.

(17)

Замечание. Решение многих задач на составление уравнения плоскости на практике сводится к поиску трех компланарных векторов. Их смешанное произведение, как известно, равно нулю. В координатах смешанное произведение вычисляется с помощью определителя 3-го порядка, строки которого и есть координаты этих трех векторов. Именно в этом и заключается смысл формул (15) и (17 ).

Пример 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторами.

Решение. Прежде всего заметим, что векторы ине параллельны, так как их координаты не пропорциональны(Рис.15). Далее, обозначим произвольная точка искомой плоскости. Нарисуем вектор и введем его аналитически. По условию искомая плоскость параллельна векторамиили, что то же самое, векторыипараллельны искомой плоскости . Это в свою очередь означает, что параллельным переносом векторыиможно переместить в плоскость вектора. Следовательно все три вектора,икомпланарны и их смешанное произведение, что в координатах дает уравнение



или .

• Уравнение плоскости, проходящей через две заданных точки ,параллельно заданному вектору

(18)

Пример 20. Известно, что пространственная прямая , проходящая через точку, пересекает плоскостьв точке. Найти уравнение плоскости, проектирующей прямуюна данную плоскость(Рис. 16).

Решение. Две точки, через которые проходит искомая плоскость , уже имеются это точки и. По этим точкам можно ввести вектор, заведомо лежащий в искомой плоскости. Далее, как всегда, введем точку произвольную точку искомой плоскости. По ней и по точке, например, введем еще один вектор, также лежащий в искомой плоскости, а именно. Осталось найти вектор, которому плоскостьпараллельна или, что то же самое, который параллелен этой плоскости. Таковым является вектор нормальный вектор данной плоскости . Введенные три вектора компланарны, а значит их смешанное произведение, что в координатах дает уравнение:

.