Тема 11 Касательные плоскости и нормали к кривым поверхностям

Вопросы самоконтроля

1. Какая плоскость называется плоскостью, касательной к поверхности в данной точке этой поверхности?

2. Какая прямая называется нормалью к поверхности?

3. Как построить плоскость, касательную к кривой линейчатой поверхности в некоторой её точке?

4. Как построить плоскость, касательную к сфере в какой- либо точке на сфере?

Уражнения

11.1 Построить касательную и нормаль в заданной точке эллипса: 1) А; 2) В; 3) С; 4) D.

11.2 Построить плоскость, касательную к поверхности цилиндра, проходящую через заданную точку поверхности.

ЗАДАЧИ

11.3 Построить плоскости, касательные к конической поверхности и проходящие через заданную точку Е.

11.4 Построить плоскости, касательные к эллиптической цилиндрической поверхности и параллельные прямой l.

11.5 Построить проекции прямой l, проходящий через точку А и расположенной в плоскости, касательной к конической поверхности.

Параллельно данной прямой линии l провести плоскость, касательную к по­верхности наклонного конуса с вершиной S и круговым ос­нованием во фронтальной плоскости проекций П2..

11.7 Построить плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через точку А.

а)

б)

11.8 Построить плоскости, касательные к поверхности сферы в точке А.

11.9 Построить плоскости, касательные к поверхности тора в точке В.

11.10 Задать на чертеже плоскости, касательные к поверхности сферы и проходящие через прямую l.

11.11Задать на чертеже плоскости, касательные к поверхности сферы и параллельные плоскости Σ(f ∩ h).

11.12 Задать на чертеже плоскости касательные к поверхности сферы и перпендикулярные к прямой l.

Пример Построить плоскость, касательную к поверхности вращения в точке М (рисунок 11.1).

Рисунок 11.1 – Построение проекции касательной плоскости к поверхности вращения.

Решение Касательная плоскость определяется касательной прямой а к параллели в точке М и касательной прямой b к меридиану в этой точке.

Прямая а, касательная к параллели, находясь в одной горизонтальной плоскости с параллелью, спроецируется на плоскость П₂ в прямую а₂ , параллельную оси Х_1,2 , а на П₁ –в виде касательной к окружности.

Для определения фронтальной проекции b₂ касательной прямой b меридиональную плоскость Г совмещаем с фронтальной меридиональной плоскостью путем вращения её вокруг оси i данной поверхности. Касательная b занимает положение , в котором определяется точка S пересечения её с осью i поверхности вращения. При восстановлении плоскости Г точка S не меняет своего положения и, следовательно, искомой фронтальной проекцией касательной является прямая линия b₂. Плоскость, заданная двумя пересекающимися в точке М касательными а и b, является касательной плоскостью к заданной поверхности вращения в точке М.