42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.

43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линал_Reshebnik.pdf

Скачиваний:

494

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Например:

1		0
A
	0	0

0		1
B
	0	0

0		1
AB
	0	0

0		0
BA
	0	0

Решение

rang(AB)=1

rang(BA)=0

57) Отображение

: L1 L2 пространства квадратных матриц второго порядка в себя

задано формулой ( A) A B , где

− заданная матрица. Найдите матрицу

задано формулой ( A) A B , где

− заданная матрица. Найдите матрицу

Нет. Пример:

B A B

 

1

	0

0


0
1

	0

1

0

1 1

Решение

det(A)=0

det(B)=0

det(A+B)≠0

То есть, операция сложения элементов не определена на множестве всех матриц второго порядка, что нарушает определение линейного пространства9.

9 Страница 35

44) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждой из которых сумма диагональных элементов равна нулю,

и вычислите координаты матрицы

1
A
	3

относительно этого базиса.

Решение

Базис:

e	1

1		0

, e

1

0

e	0		0

3		1	0

То есть координаты матрицы А относительно этого базиса можно получить, решив уравнение A 1e1 1e2 3e3 . Для этого запишем матрицы в виде столбцов и найдём

координаты из матричной системы:

3 .

1		0	0	1
	0	1	0	2
					, откуда получаем координаты:
	0	0	1	3


	1	0	0
				1

45) Найдите размерность линейной оболочки столбцов матрицы	1		2	3
	A
		6	7	8

Решение

В соответствии с определением ранга системы векторов dim lin rang( A) Поскольку матрица A содержит ненулевой минор второго порядка, то rang( A) определению ранга ненулевой матрицы.

4 9

5 10

по

46) Найдите такие числа b1,b2, для которых система уравнений имеет решений, или докажите, что таких чисел не существует.

Решение

По теореме 6.1 таких чисел не существует, т.к.

1		2	3	1		2	3	b	2	b ,b .
rang				rang				1
	4	5	6		4	5	6			1 2
								b2

x		2x		2	3x		b
	1					3		1
	4x		5x			6x		b
					2		3
		1						2

не

47) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех многочленов не выше второй степени (с обычными операциями), у каждого из которых сумма всех коэффициентов

равна нулю. Вычислите координаты многочлена	x	2

Решение

относительно этого базиса.

В общем виде многочлен второй степени выглядит следующим образом:

P(x) ax	2	bx c

По условию: a b c 0 b a c P(x) ax2 c ax cx a(x2 x) c(1 x) . Т.е.

e1	e2
это линейная комбинация базисов пространства.

Заметим, что у e1 и e2 сумма координат также равна 0, т.е. они принадлежат искомому пространству.

Таким образом,	x	2

можно вычислить,

3x 2 e1 2e2

(в данном случае координаты очевидны, но их также

решив систему уравнений)

Важно: Ответ записывать не координатами, а многочленами!

48) Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма

2	4x1 x2	4x2	2
Q x1	4x1 x2	4x2		имеет канонический вид.

Решение

Найдем корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы

1		2	0	0
det					1
	2	4					5
						2

Для собственных значений соответствующие собственные векторы:

1 0

1 5

	1

	2
	2
4


2

2	1
	~
4		0

2	2
	~
1		0
1		0

2

0

1

0

x1 2x2 Y1

2x1 x2

	2

	1
	1


Y2

1

2

Заметим, что векторы Y1 и Y2 ортогональны:

	P	Y	1	2
Ортонормированный базис:	P	1
Ортонормированный базис:	1	Y		1
		Y	5	1
		1	5

(По теоремам 11.4 и 8.8)

;

Y2 2

	P	Y
	P	2
		2
	2	Y
		Y
		2

( 1) 1 2 0 Y1 Y2

1	1

		.
5	2

49) Найдите угол (в градусах) между векторами

произведения в базисе e1, e2 равна	2		1
	A
		1	2

e1 и e2, если матрица скалярного

								Решение
Поскольку матрица скалярного произведения выглядит следующим
	e , e			e , e				, то в соответствии с определением угла между
образом: A	e	1	1	e	1		2	, то в соответствии с определением угла между
	e	2	, e	e	2	, e	2
		2	1		2		2

ненулевыми векторами10


cos(e	, e	2
1		2

)

e	, e	2
1		2
e	e	2
1		2

1
2	2

1 2

угол равен 120º

10 Страница 141

50) Найдите какую-нибудь систему линейных уравнений, представить в виде (3+С, 2−2С, 1−3С) при некотором C

Решение

всякое решение которой можно

			x					3 C
				1
В векторном виде решение СЛУ выглядит следующим образом:				x2			2 2C

							1 3C
			x3

x		2 2(x				3)		x
Запишем решение в виде системы, выразив С через х1: x	2	1 3(x			3)			x	2
				1
	3			1					3

8 2x1

10 3x1

Ответ:

2 3

8 2x1

10 3x1

		2	1	0
51) Найдите A-1 для
51) Найдите A-1 для	A	0	2	1 .
		1	1	1
		1	1	1

					Решение:
						2	1	0

Проверим возможность нахождения матрицы, обратной А: det						0	2	1	1
						1	1	1
						1	1	1

(В соответствии с теоремой 4.3)

Выполняем ряд элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы:

2
		0

	1

0
	1

	0

A		1

1
2
1
1
0
0
1

	1
	2

0		1 0 0					2		1		0	1

1		0	1 0				4		0	1		2
						~
1		0 0 1					3		0		1	1


0	1		2	2			1		0	0	1	1
0	1		1		1			0	1	0	1	2
						~
1	2		3		4			0	0	1	2	3

1	1
2	2		(По теореме 4.5)

3	4

0 1 0

0
0

1

		2
		1
	~	1
		3
		3

1	0	1	0
0	0	1	1
0	1	1	0

52) Найдите размерность и базис линейной оболочки множества многочленов (1+t)3, t3, 1, (t+t2).

Решение

В качестве системы многочленов не выше третьего порядка можем взять: t3, t2, t, 1. (Поскольку dim P3[t]=411, и система этих многочленов является линейно независимой, поскольку ее можно представить в виде единичной матрицы, то в соответствии со следствием 3.2 теоремы 3.6 она является базисом).

Представим данные по условию многочлены в координатах относительно базиса:

1		1	0
	3	0	0

	3	0	0
	1	0	1

С помощью элементарных преобразований можно получить

ступенчатую матрицу, определитель которой равен нулю. Ранг этой матрицы равен 3, т.е. dim lin 3 по определению ранга системы векторов.

11 См. определение размерности и пример 3.6 со страницы 45

1	1	2		5	1		1	3		4	образуют базис в
53) Докажите, что матрицы		,			,			,
			1	3		0	1		5	7
1	1

пространстве всех квадратных матриц второго порядка, и найдите координатный столбец

матрицы

5

	6

14 13

Решение

a Запишем матрицы вида c

Определитель этой матрицы

		a
b			b
b			b
в виде			с
d			с
		d
	1	2
	1	5
det	1	1
	1	1
	1	3
	1	3

и представим их, как матрицу.

1	3
1	4	37	, т.е. система столбцов

0	5

1	7

является линейно независимой в соответствии со следствием 5.2 теоремы 5.3. Размерность пространства равна 4, поэтому матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц второго порядка (Следствие 3.2 теоремы 3.6).

Решим систему уравнений в матричном виде, приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду с помощью преобразований Гаусса:

1	2	1	3
1	5	1	4
1	1	0	5
1	3	1	7
1	3	1	7

	1
		0
	~
		0

		0

0	0	0	1
1	0	0	2

0	1	0	1

0	0	1	1

Последний столбец матрицы являет собой координатный столбец матрицы из условия относительно базиса.

54) Найдите ядро и множество значений линейного оператора, заданного матрицей

		2	5
		2	5
		2	5
		2	5

	3
	3		.
	3		.
	3
	3

Решение

Преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

222

rang

dim lin

5	3	2		5
5	3	~	0	0
5	3		0	0
5	3		0	0
1 dim ker 3 1 2

dim Im rang 1

ker : 2x1	5x2 3x3
	5				3
ker C		2	C			0
1		0		2		2
		0				2

	Y1				Y2
							2
столбец			Например, Im C				2
столбец			Например, Im C				2
							2
							2

(В соответствии с теоремой 7.3)

55) Отображение	: L1 L2	пространства двухмерных строк в пространство квадратных
		x	y	. Докажите линейность
матриц второго порядка задано формулой ((x, y))				. Докажите линейность
			x
		y	x

этого отображения и найдите его матрицу в каких-нибудь базисах.

Решение

Для начала, докажем линейность отображения ((x, y)) y

(по определению, стр.77)

1. Проверка операций сложения:

		x		x		y		y
			1		2	1				2
а) ((x1	x2 , y1	y2 ))	1		2	1				2
а) ((x1	x2 , y1	y2 ))
			y	y		x	x
			y	y	2	x	x		2
			1		2	1			2

б) ((x1 , y1 )) ((x2

, y2 ))

Получается, что (( x1

x2 , y1 y2 ))

(( x1

, y1 )) (( x2 , y2 ))

2. Проверка операций умножения на вещественное число:

x		y	x	y
( (x, y))
	y	x		x
	y	x	y	x

Теперь найдёт матрицу оператора в каких-нибудь базисах.

	e	(1, 0)
Базис:	1		в пространстве L1
Базис:	e	(0, 1)	в пространстве L1
	2
						1
						1
Линейное отображение базиса в пространстве L2:
						2
						2
			1		0

				0	1
Матрица отображения: (по теореме 7.1) A				0	1

				1	0
				1	0

1	0


0	1
0	1

	0
1	0

56) Отображение : L1 L2 пространства квадратных матриц второго порядка в себя переводит всякую матрицу А в транспонированную матрицу А*, т.е. ( A) A*. Найдите матрицу линейного оператора в каком-нибудь базисе.

Решение

				1	0	0	1	0	0	0
Базис в пространстве L1: h1					, h2			, h3	, h4
				0	0	0	0	1	0	0
Отображение базиса в пространстве L2:
	1	0	h
(h )			h
1	0	0	1
1			1
										1
	0	0	h3	Матрица линейного оператора: ( A)							0
(h2 )			h3	Матрица линейного оператора: ( A)							0
	1	0									0
											0
											0
	0	1	h2				(по теореме 7.1)
(h3 )			h2				(по теореме 7.1)
	0	0
(h	0	0	h
(h	)		h
4	0	1	4
4			4

0	0
1	0
0	0
0	1
0	1

линейного оператора в каком-нибудь базисе.

								Решение
Базис в пространстве L1: h1					1		0	0	1	, h3	0		0	, h4	0		0
Базис в пространстве L1: h1						0	, h2			, h3		1	0	, h4		0	1	.
						0	0	0	0			1	0			0	1
Отображение базиса в пространстве L2:
	1	2	h 2h
(h )			h 2h
1	0	0	1	2
1			1	2
(h	3	4	3h	4h
(h	)		3h	4h
2	0	0	1	2
2			1	2
	0	0	h 2h
(h )			h 2h
3	1	2	3	4
3			3	4
(h	0	0	3h	4h
(h	)		3h	4h
4	3	4	3	4
4			3	4

Матрица линейного оператора:

(по теореме 7.1)

	1
		2
	( A)
		0

		0

3	0	0
4	0	0

0	1	3
0	2	4

58) Найдите матрицу оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени

не выше n относительно базиса 1, t, t	2	,........,	t	n	.

Решение

Базис:


1,	t , t			2	,........, t		n
1,	t , t				,........, t

e	e	2	e		e	n 1
1		2	3			n 1

Отображение базиса (дифференцирование):

(e1 ) 0(e2 ) 1 e1

(e3 ) 2t 2e2


(e	n 1	) nt n 1	ne	n
	n 1			n

Матрица линейного оператора (по теореме 7.1):

0		1	0	0	0
	0	0	2	0	0

	0	0	0	3	0
( A)


	0	0	0	0	n


	0	0	0	0	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.201540 Кб7Лермонтов.docx
#
26.03.201654 Кб7лешник.docx
#
26.03.2016165 Кб26Лидерство (Дитс).doc
#
02.06.2015138 Кб12Лидерство_программа_2012.doc
#
21.04.2019969 Кб9лин.алг..doc
#
26.03.20162 Мб494Линал_Reshebnik.pdf
#
26.09.2019710 Кб6Линал.doc
#
01.04.20253 Мб3линал.docx
#
23.11.20192 Мб23Линейная алгебра (лекции, 1 сем,1 курс).docx
#
02.06.2015808 Кб26Линейная алгебра.doc
#
26.03.2016630 Кб43Линейная алгебра.pdf