2.3. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого теланазывается такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему некоторому начальному положению.

Теорема.При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.

Доказательство.Возьмем в твердом теле две произвольные точкиАиВ. Определим их положение относительно неподвижной точкиОвекторамии. Выразимчерез:,, т.к. это расстояние между двумя точками твердого тела. Продифференцируем это выражение:, т.е.. Т.к. точкиАиВ произвольные, то скорости всех точек тела одинаковы. Рассмотрим теперь производные от скоростей:,, т.е. ускорения всех точек тела одинаковы.

2.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением твердого тела вокруг неподвижной осиназывается такое движение, при котором хотя бы две точки тела являются неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью вращения. Понятно, что все точки, лежащие на оси вращения, неподвижны. Если взять любую точку тела, то траекторией ее вращения является окружность, расположенная в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Введем в рассмотрение неподвижную полуплоскость П₀, проходящую через ось вращения и подвижную полуплоскость П, жестко связанную с твердым телом.Углом поворота теланазывают двугранный угол, образованный плоскостями П₀ и П. Уголсчитается положительным, если он отложен против хода часовой стрелки при наблюдении с положительного направления оси, в противном случае угол поворота – отрицательный. Если задать угол, то можно определить величину угла в любой момент времениt, поэтому уравнение– уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси. Тело при вращении вокруг неподвижной имеет одну степень свободы.

Алгебраической угловой скоростьютела называется величина

.

Модуль угловой скорости . Размерность.

Алгебраическим угловым ускорениемтела называется величина

.

Модуль угловой скорости . Размерность.

Частота вращения n. Размерность. Зависимость между частотой вращения и угловой скоростью:

.

Рассмотрим теперь частные случаи вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

1. Равномерное вращение: ,,– закон равномерного вращения тела.

2. Равнопеременное вращение: ,,,– закон изменения угла поворота при равнопеременном вращении тела.

Если иимеют одинаковый знак, то тело вращается ускоренно, в противном случае – замедленно.

Введем в рассмотрение единичный вектор . Тогда векторы угловой скорости и углового ускорения могут быть записаны в виде:

,.

Если вектора исонаправлены, то тело вращается ускоренно, в противном случае – замедленно.

2.5. Скорость и ускорение точки тела,

совершающего вращение вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, при взгляде сверху. Дуговая координата . Так как, тоs будет

функцией времени. Алгебраическая скорость ,.

Скорости точек тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны расстоянию до центра вращения. Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость вращения. Покажем, что справедлива формула Эйлера:. Действительно, вектор скоростинаправлен по правилу векторного произведения;.

Рассмотрим теперь ускорение точки.

,,;.

Тогда .

Если α угол образованный полным ускорением и нормальным, то

.

Применим формулу Эйлера к определению ускорения:

.

Введем обозначения:

– касательное ускорение;

– нормальное ускорение, где– вектор, направленный от оси вращения к точке.

Проверим: ;

.