4.6. Сложное движение твердого тела

Основная задача кинематики сложного движения твердого тела заключается в установлении связи между кинематическими характеристиками, составляющими относительное и абсолютное движения. Рассмотрим теперь сложение различных видов движения.

1. Сложение поступательных движений

Пусть твердое тело движется поступательно по отношению к подвижной системе О₂x₂y₂z₂со скоростью. Подвижная система двигается при этом также поступательно со скоростьюпо отношению кО₁x₁y₁z₁. Рассмотрим произвольную точкуМтела. Поскольку тело совершает сложное движение, то и все его точки также совершают сложное движение, т.е.

.

Так как движение поступательное, то =,=, тогда. Так как точка М произвольна, то скорости всех точек тела одинаковы, следовательно результирующим движением тела является поступательное движение со скоростью равной геометрической сумме скоростей составляющих поступательных движений. Если тело участвует вnпоступательных движениях, то.

2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Пусть твердое тело вращается вокруг оси z₂с угловой скоростьюω₂. Одновременно подвижная система отсчета вращается вокруг осиz₁неподвижной системы с угловой скоростьюω₁. Так как точкаОтела принадлежит неподвижной оси, то результирующим движением будет являться вращение тела вокруг неподвижной точки, т.е. сферическое движение.

Рассмотрим произвольную точку Мтела, радиус-вектор которой.,,,,

,.

Таким образом, при вращении тела вокруг пересекающихся осей, одна из которых неподвижна, результирующим движением является вращение вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей, составляющих вращение.

Если тело одновременно участвует в nвращениях вокруг пересекающихся осей, то результирующим движением будет вращение с мгновенной угловой скоростью

.

Рассмотрим частный случай. Пусть = –, то будет находится в состоянии покоя, т.к.. Таким образом, к любому движению можно добавить такую совокупность и движение при этом не изменится.

3. Пара вращений.

Парой вращения называется совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей с угловыми скоростями равными по модулю и противоположно направленными.

Пусть тело вращается вокруг оси z₂с угловой скоростьюω₂. Одновременно подвижная система отсчета вращается вокруг осиz₁неподвижной системы с угловой скоростьюω₁, причем = –. Рассмотрим произвольную точку телаМ.

,,,

.

Так как ине зависят от положения точкиМ, то скорости всех точек тела будут одинаковы, следовательно результирующим движением является поступательное.

– векторный момент пары вращения.

Таким образом, пара вращения эквивалентна поступательному движению тела со скоростью, равной векторному моменту пары вращения. Если тело совершает мгновенно поступательное движение, то его можно представить как пару вращений.

4. Сложение вращений вокруг параллельных осей.

Пусть твердое тело вращается вокруг оси z₂с угловой скоростьюω₂. Одновременно подвижная система отсчета вращается вокруг осиz₁неподвижной системы с угловой скоростьюω₁, причем осиz₁иz₂параллельны. Возьмем произвольную точкуМ, которая совершает сложное движение

.Векторыиперпендикулярны осямz₁иz₂, следовательно, так как точка М произвольна, то скорости всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных координатной плоскостиx₁y₁, т.е. тело совершает плоское движение по определению. Если тело совершает плоское движение, то в каждый момент времени тело совершает вращение вокруг мгновенного центра скоростей в плоскостиx₁y₁. Мгновенный центр скоростей будет находится на отрезке. Условие равенства скоростейиточкиРзаписывается следующим образом:

,.

Мгновенный центр скоростей определяется по последнему равенству. Мгновенная ось вращения параллельнаz₁иz₂.

Скорость точки Р:

.

, так как, тогда

,.

Рассмотрим случай, когда вращение происходит в противоположные стороны, но не представляет пары вращения. Для определенности, пусть ω₂ > ω₁. Очевидно, что точка Р будет находится вне отрезка со стороны оси с большей угловой скоростью.

Условие равенства изаписывается следующим образом:,. При этом точкаРнаходится вне отрезка со стороны осиz₂. Тогда,.

Тело, одновременно участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает мгновенное вращение вокруг оси, параллельной осям, составляющих вращение, которая делит расстояние между этими осями внутренним или внешним образом на части, обратно пропорционально модулям угловых скоростей составляющих вращение. Мгновенная угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращение.

Основные законы классической механики

1.Закон инерции.

Материальная точка, на которую не действуют силы или действует взаимно уравновешиваемые системы сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения по отношению к инерциальной системе отсчета.

Прямолинейное равномерное движение точки называется движением по инерции.

2. Основной закон динамики.

Ускорение, с которым материальная точка движется по отношению к инерциальной системе отсчета пропорционально действующей на точку силе и имеет одинаковое с этой силой направление. , (1) где m– инертная масса точки.