Эконометрика. Тихомиров

обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применяется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде.

Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50), i=1,2,..., т:

где, как и в разделе 8.4, Zi=[YiXi] – матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменных i-й модели;

i=[ i i] – вектор параметров i-й модели; i – вектор ошибки i-й модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспонированную матрицу значений всех экзогенных переменных X . В

результате получим модель следующего вида:

В выражении (8.71) вектор X уi рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица X Zi – как матрица значений новых независимых факторов, а вектор X i – как вектор значений новой ошибки.

При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

где ii2 – постоянная дисперсия ошибки i-го уравнения системы.

Поскольку ii2 X X ii2 Е, т. е. ковариационная матрица ошибки имеет вид отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дисперсию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71)

необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка di вектора коэффициентов i в этом случае определяется согласно следующему выражению:

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимых уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25).

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы, j=1,2,..., m; j i, где i – индекс уравнения системы.

Этап 2.

определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73). Кроме того, на этом шаге определяются вектора ошибок каждого из уравнений системы иi=(иi1,..., иiТ) , с использованием которых рассчитываются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнений ii2 и их взаимные ковариации ij и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица .

Этап 3.

С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются

“окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются

“более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками двухшагового МНК.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т. е. ij=0, i j, то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении трехшагового МНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем:

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

3.Что представляют собой структурная и приведенная формы модели?

4.Как проводится оценивание коэффициентов с использованием ограничений на структурные параметры?

5.Что представляют собой порядковое и ранговое условия идентифицируемости уравнений структурной формы?

6.Что представляют собой рекурсивные системы моделей?

7.В чем состоит суть двухшагового и трехшагового МНК, используемых для оценки коэффициентов системы взаимозависимых уравнений?

Упражнения к главе VIII

Задание 8.1

Имеется следующая модель:

где pt – логарифм цены; wt – логарифм почасовой оплаты, lt – логарифм себестоимости; qt – логарифм объема производства и bt – логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.

Требуется:

1.Представить модель в матричной форме записи.

2.Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для pt и

wt.

Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

где Сt – потребление; It – инвестиции, Gt – государственные расходы; Yt –

валовой национальный продукт в период t.

Требуется:

1. Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель

(8.4)–(8.6).

2.Представить структурные уравнения в матричной форме.

3.Построить соответствующую прогнозную форму.

4.Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5.Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 8.3.

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

Требуется:

1.Проверить идентифицируемость уравнений системы.

2.Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:

а) 11=0; б) 21=0.

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель:

Ct 1 2 Yt 3 rt 1t ;

I t 1 2 Y t 3 U t 1 2t ; rt 1 2 I t 3 M t 2t ; Yt Ct I t Gt .

Требуется описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель:

Ct 1 2 Yt 1t ;

I t 1 2 Y t 2t ;

Yt Ct I t Gt ,

Требуется:

1.Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.

2.Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.

3.Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной

формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.

ГЛАВА IX. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННОЙ

СТРУКТУРОЙ

9.1.Причины изменчивости структуры модели

Впредыдущих разделах учебника рассматривались эконометрические модели, значения коэффициентов которых предполагались постоянными на всем рассматриваемом временном интервале t=1,2,..., Т. Для моделей,

построенных на основе статической информации, это предположение означает неизменность значений коэффициентов модели на всей ранжированной совокупности объектов.

Данное предположение означает так же равенство в статистическом смысле значений оценок коэффициентов модели, полученных на различных массивах исходной информации. Иными словами, оценки коэффициентов линейной модели (1.2) a0, a1,..., an, определенные, например, по исходным данным соответствующим первым Т1 измерениям, не будут существенно отличаться от оценок, полученных на основе последующих Т–Т1 измерений рассматриваемых переменных. В этом смысле, оценки коэффициентов модели, полученные на основе всей информации, т. е. по Т измерениям переменных, можно рассматривать как усредненные значения оценок,

полученные по всем возможным подмножествам этих измерений.

Эконометрические модели с постоянными значениями своих коэффициентов на рассматриваемом множестве исходных данных часто называют эконометрическими моделями с постоянной структурой. Они отражают предположение о неизменности (постоянстве) характера взаимосвязей, сложившихся между рассматриваемой совокупностью независимых переменных хi, i=1, 2,..., п и зависимой переменной у. Эти взаимосвязи не подвержены влиянию ни изменений масштабов этих переменных, ни времени, ни каких-либо другие, внешних по отношению к рассматриваемой модели условий, факторов. Вследствие этого количественные характеристики оценок коэффициентов модели с

постоянной структурой a0, a1,..., an одинаково точно отражают взаимосвязи между значением независимой переменной уt и соответствующими ему значениями факторов хit, i=1, 2,..., п; во все периоды (моменты) времени t=1, 2,..., Т, с поправкой на случайную ошибку t. Это обстоятельство, в свою очередь, учитывается и при построении модели в виде условия

“равноправия” всех элементов вектора у и строк матрицы Х при определении значений ее коэффициентов*.

Вместе с тем, результаты анализа развития многих реальных социально-

экономических процессов свидетельствуют, что со временем, вследствие изменения условий, под влиянием вновь появившихся неформализуемых факторов, характер взаимосвязей между ними меняется. Иногда подобные изменения связываются с законом перехода количества в качество,

проявляющимся в том, что, например, с ростом масштабов явлений модифицируются взаимосвязи между ними. Во всех этих случаях взаимосвязи между количественными характеристиками процессов и явлений, относящимися к различным частя временного периода, могут соответствовать и разным модификациям эконометрической модели,

отличающимся значениями их коэффициентов. В такой ситуации модель с постоянной структурой, построенная на основе информации для всего периода, может оказаться недостаточно точной и малопригодной для объяснения закономерностей рассматриваемых процессов.

В связи с этим возникает вопрос о возможности учета изменений значений коэффициентов в рамках одной эконометрической модели. В отличие от моделей с постоянной структурой эконометрические модели с меняющимися значениями коэффициентов называют моделями с переменной структурой.

Специалисты отмечают, что эконометрические модели с переменной структурой могут оказаться достаточно эффективными при изучении

* Здесь термин “равноправие” взят в кавычки с учетом того, что в моделях иногда используются весовые коэффициенты, определяющие различия в важности информации, содержащейся в разных строках матрицы Х и элементах уt, при определении значений коэффициентов (см. раздел 3.2). Однако этот вариант модели предполагает возможность изменения коэффициентов во времени.