Эконометрика. Тихомиров
.pdf
y1=1
1 |
автобус |
y1=0
2 y2=1 y2=0
метро
Рис.10.3. Последовательность выбора одной из трех альтернатив
В каждом узле, используя бинарные модели, можно оценить условную вероятность выбора соответствующего варианта. Безусловная вероятность его выбора вычисляется по формуле умножения вероятностей. Так,
например, безусловная вероятность выбора метро как способа добраться до работы определяется следующим выражением:
P(y3=1)=P(y2=0, y1=0)=P(y2=0)P(y2=0|y1=0). (10.99)
Вероятность P(y2=0) оценивается с использованием бинарной probit-
модели (10.50), вероятность P(y2=0|y1=0) –на основе выражения (10.74)..
Гнездовые logit-модели (nested logit-models).
Как было отмечено, в условной logit-модели ошибки обычно предполагаются гомоскедастичными. Для практики это предположение часто является слишком строгим. Например, в случае выбора одного из трех торговых центров при условии, что количество магазинов в первом из них вдвое больше, чем во втором (K1=2K2), а расстояние до первого вдвое больше, чем до второго (Rt1=2Rt2), дисперсии ошибок 1 и 2
эконометрической модели, связывающей данные выбора первого и второго торгового центра с влияющими на этот выбор факторами (см. выражение
(10.96)), определяются следующим образом:
|
T |
(ln 1 1 2 K 2 2 2 R t 2) |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
D( |
) t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T |
2 K 2 2 |
2 R t 2) |
|
|
|
||
|
|
|
( 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
; |
|
|
(10.100) |
|
|
|
T |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
|
1 K 2 |
2 R t 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
(ln 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D( 2) |
t 1 |
|
|
|
|
, |
(10.101) |
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T – число наблюдений.
Если R t 2 ln 2 , то D( 1) D( 2), т. е. ошибки j гетероскедастичны.
Один из способов ослабить предположение о гомоскедастичности ошибок в условной logit-модели связан с изменением процедуры выбора альтернативных вариантов. В этом случае варианты разделяются на непересекающиеся группы таким образом, что внутри группы дисперсии ошибок tj уравнения (10.84) являются одинаковыми, а дисперсии ошибок разных групп между собой различаются.
Предположим, что J вариантов могут быть разбиты на L групп, и общий набор вариантов представляется как [1,...,J]=[(1|1,...,J1|1),..., (1|L,..., JL|L)], где j|l – j вариант в группе l, Jl – номер последнего варианта в группе l.
Используется следующая логика выбора окончательного решения. Сначала выбирается одна из L групп, затем осуществляется выбор варианта в рамках группы. Этот процесс имеет древовидную структуру, которая для двух групп и 5 вариантов может выглядеть следующим образом:
Выбор
Группа1 Группа2
1|1 |
2|1 |
1|2 |
2|2 |
3|2 |
Пусть хj|l – вектор независимых переменных, влияющих на выбор варианта внутри группы, а zl – вектор независимых переменных, влияющих на выбор группы.
Если бы для описания процедуры выбора использовалась условная logit-
модель (10.92), то предполагалось бы, что выбор варианта j и выбор группы l
не зависят друг от друга.
При условии независимости выбора группы и варианта внутри группы вероятность выбора конкретного варианта определялась бы следующим выражением:
|
|
e |
'x j|l |
|
e |
'zl |
|
|
||
|
P[вариант j,группа l] P j|l Pl |
|
|
|
|
|
. |
(10.102) |
||
|
J l |
|
'x j|l |
L |
|
'zl |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e |
|
e |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j 1 |
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
где |
и – вектора параметров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для гнездовой logit-модели безусловную вероятность выбора j-го варианта и l-й группы можно представить как произведение условной вероятности выбора j-го варианта при условии, что была выбрана l-я группа, и
безусловной вероятности выбора l-й группы.
Заметим, что поскольку внутри группы ошибки гомоскедастичны, то
условную вероятность выбора j-го варианта при условии выбора |
l-й группы, |
|||
можно определить с использованием выражения (10.92) как |
|
|||
|
e |
'х j|l |
|
|
P j|l |
|
. |
(10.103) |
|
J l |
|
|||
|
|
'х j|l |
|
|
|
e |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
Специфика гнездовой logit-модели, ее отличие от условной logit-модели,
состоит в подходе к определению вероятности выбора l-й группы. Для того чтобы раскрыть эту специфику, введем переменную Il, характеризующую
“ценность” l-й группы:
J l |
|
I l ln e 'x j|l . |
(10.104) |
j 1 |
|
В гнездовой logit-модели “ценность” l-й группы рассматривается как дополнительный фактор, влияющий на выбор этой группы, т. е. вероятность выбора l-й группы определяется следующим образом:
Pl |
e |
'z l l I l |
|
|
|
|
|
, |
(10.105) |
||
L |
|
'z l l I l |
|||
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
l 1 |
|
|
|
|
где l – параметр, который и отличает гнездовую logit-модель от условной logit-модели. В последней он принимает значение 1. Поэтому вероятность выбора l-й группы в условной logit-модели определяется как
|
e |
'zl |
|
|
|
Pl |
|
|
, |
(10.106) |
|
L |
|
'zl |
|||
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
l 1 |
|
|
|
|
В гнездовой logit-модели значение параметра l оценивается вместе с параметрами .
В целом, оценивание безусловной вероятности выбора j-го варианта
внутри l-й группы в рамках гнездовой модели осуществляется следующим образом:
1. Вектор параметров оценивается с использованием условной logit-
модели типа (10.92), описывающей выбор j-го варианта в зависимости от факторов хj|l. После оценки параметров по формуле (10.103) определяется ценность l-й группы, т. е. Il.
2. Вектор параметров и параметр l также оцениваются с использованием условной logit-модели типа (10.92), которая описывает выбор l-й группы в зависимости от факторов zl и Il.
3. По формулам (10.103), (10.105) оцениваются вероятности Pj|l |
и Pl. |
||
Безусловная вероятность выбора |
j-го варианта внутри |
l-й |
группы |
определяется как произведение Pj|l |
и Pl. |
|
|
Качество оценок, получаемых на основе гнездовой logit-модели, во многом определяется правильностью построения дерева альтернативных вариантов.
Отметим, что на практике достаточно трудно оценить, соответствует ли выбранная структура такого дерева исходным условиям модели, состоящих в постулировании определенных допущений относительно дисперсий ошибок
(постоянство дисперсий ошибок внутри группы и различие дисперсий в
разных группах).
Как это было показано ранее, модификации logit-моделей могут формироваться в зависимости от состава учитываемых в них факторов. В
частности, мультиномиальная logit-модель в отличие от рассмотренных выше модификаций учитывает, что на выбор индивидуума t влияют только
его характеристики. Примером мультиномиальной logit-модели является
модель выбора сферы деятельности (Schmidt and Strauss, 1975). Допустим,
что имеется информация: а) относительно возможной сферы деятельности человека: (0) – “прислуга”, (1) – “синий воротничок”, (2) – “ремесленник”, (3)
– “белый воротничок”, (4) – “руководитель”; б) относительно характеристик индивидуума (факторов): образование, опыт работы в данной области, пол.
Предположим, что значения зависимой переменной yt |
и независимых |
факторов wt, связаны следующим образом: |
|
yt=j wt + tj, |
(10.107) |
где yt наблюдаемые значения зависимой переменной (т. е. 0, 1,...,J); wt –
вектор факторов, содержащий характеристики индивидуума t; j – вектор параметров, характеризующих влияние факторов wt на выбор конкретного варианта j, tj – ошибка модели.
Предположим также, что ошибки tj, j=1,...,J независимы и |
распределены |
|||||||||||
по закону Вейбулла, т. е. |
F( |
tj |
) exp(e |
tj |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта |
может быть |
|||||||||||
представлена в следующем виде (см. выражения (10.89)–(10.91)): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'w |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( |
j) |
|
|
|
. |
(10.108) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Y t |
|
4 |
|
|
'w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
Заметим, что в приведенном примере рассматривается нулевая альтернатива. Это позволяет сократить объем вычислений, поскольку на практике 0 не оценивают, а принимают равным нулевому вектору. Тогда согласно выражению (10.108) вероятности выбора t-м индивидуумом варианта j, j=0,1,..., J–1; определяются согласно следующим формулам:
|
|
|
|
j |
'w |
|
|
|
|
|
e |
|
|
t |
|
|
|
P( |
j) |
|
|
|
|
|
, j 1,2,..., J ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y t |
|
|
J |
|
|
|
|
'w |
|
|
1 e |
k |
|||||
|
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
||
P( |
0) |
1 |
. |
(10.109) |
|
||||
Y t |
|
J |
k ' xt |
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
Из выражений (10.109) следует, что логарифм отношения вероятностей выбора j-й и 0-го варианта равен
|
ln |
Ptj |
j wt , |
(10.110) |
||
|
|
|||||
|
Pt 0 |
|||||
|
|
|
|
|
||
а логарифм отношения вероятностей выбора j-го и k-го вариантов – |
|
|||||
ln |
Ptj |
wt ( j– k). |
(10.111) |
|||
|
|
|||||
Ptk |
||||||
|
|
|
|
|||
Заметим, что, если предположение о независимости ошибок tj не выполняется, то соотношения между вероятностями нуждаются в определенной корректировке.
Модели с упорядоченными альтернативными вариантами.
Варианты в моделях множественного выбора могут быть естественным
образом упорядочены. Примерами упорядоченных вариантов являются:
1.Рейтинги ценных бумаг.
2.Результаты дегустации.
3.Опросы общественного мнения.
4.Уровни сложности работ.
5.Типы страховых полисов, выбираемых потребителем (отсутствие такового, частичное покрытие, полное покрытие).
6.Степени занятости (безработный, занят часть дня, занят полный день).
Во всех этих случаях значения зависимой переменной обычно выражают отношения предпочтения среди альтернативных вариантов. Такие отношения могут быть выражены рангами, имеющими вид упорядоченных наборов чисел: 0,1,2,... При этом наиболее предпочтительному варианту может соответствовать как нуль (в этом случае рейтинги вариантов с ростом их ранга уменьшаются), так и последнее число в этой последовательности J (в
этом случае рейтинги альтернатив уменьшаются вместе с уменьшением их ранга).
Для анализа определения предпочтительности выбора среди упорядоченных альтернативных вариантов и оценки влияния на этот выбор различных факторов широко применяются порядковые logit- и probit-модели.
В таких моделях вероятности предпочтения также, как и в биномиальной probit-модели (10.58), определяются с использованием уравнения латентной регрессии:
yt*= xt+ t. (10.112)
