Эконометрика. Тихомиров

математическое ожидание М(yt|yt 0), так и вероятность P(yt 0), и, наоборот,

при отрицательном i с ростом фактора хit эти показатели уменьшаются.

Вместе с тем заметим, что эффект одновременного увеличения математического ожидания и вероятности при увеличении некоторого независимого фактора хi на практике может и не иметь место. В частности,

как показали Фин и Шмидт (Fin and Schmidt, 1984), независимая переменная

хi, увеличивающая вероятность нецензурированного наблюдения (P(yt 0)), не всегда увеличивает и математическое ожидание переменной (М(yt|yt 0)). В

качестве примера они приводят потери от пожаров в зданиях. Вероятность возникновения пожара в старом здании выше, следовательно P(yt 0)/ хit 0 (хit – возраст t-го здания), но так как старое здание стоит дешевле, то и пожар в нем приносит меньше убытков, т. е. М(yt|yt 0)/ хit 0. Таким образом, в

данной задаче предполагается, что коэффициент i при факторе “возраст здания” имеет разные знаки в функциях вероятности и математического ожидания. В рамках tobit-модели это учесть невозможно.

Для описания процессов, в рамках которых предположение об одинаковом характере маржинального эффекта математического ожидания и вероятности не выполняется, была предложена более общая модель, являющаяся сочетанием одномерной probit-модели и усеченной регрессии (для нецензурированных значений зависимой переменной).

На основе probit-модели определяется вероятность нецензурированного

(или цензурированного) наблюдения при данном наборе факторов xt.

где ( xt) – интегральная функция закона нормального распределения,

определяющая вероятность нецензурированного наблюдения; – вектор

параметров модели, zt – переменная-индикатор, принимающая значение 1

для нецензурированного наблюдения и значение 0 – для цензурированного.

Далее на основе модели усеченной регрессии определяется математическое ожидание нецензурированного наблюдения. В соответствии с выражением (10.150) математическое ожидание нецензурированной переменной может быть представлено в следующем виде:

Заметим, что если = / , то модель (10.167)–(10.168) сводится к tobit-

модели.

10.4.3. Модели случайно усеченных выборок (selection-model)

Предположим, что переменные у и z имеют двумерное распределение с коэффициентом корреляции . Найдем распределение у по случайной выборке (у, z) условии, что уровень переменной z превышает определенное значение (z b). Интуиция подсказывает, что если у и z положительно коррелированы, то усечение z должно подвинуть распределение у вправо.

Нахождение распределения у связано с определением, во-первых, вида функции плотности случайно усеченного распределения переменных у и z, и,

во-вторых, математического ожидания и дисперсии случайно усеченной переменной у при условии, что у и z подчинены закону двумерного нормального распределения.

Усеченная совместная плотность у и z согласно выражению (10.136) при любом распределении этих переменных определяется следующим выражением:

Если у и z распределены согласно двумерному нормальному закону с математическими ожиданиями y и z и стандартными отклонениями y и z, а коэффициент их парной корреляции равен , то в соответствии с выражениями (10.142)–(10.143) условные математическое ожидание и дисперсия у при усечении z определяются следующим образом:

Заметим, что при усечении сверху, т. е. z b, математическое ожидание и дисперсия переменной у также определяется согласно выражениям (10.169) и (10.170) при ( z)=– ( z)/ ( z).

Из выражения (10.169) следует, что при усечении “снизу” условное математическое ожидание у смещается в направлении корреляции переменных у и z, если усечение проводится “сверху”, то – в направлении противоположном корреляции. Случайное усечение уменьшает дисперсию, т.

к. ( z) и 2 принадлежат интервалу (0,1).

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих случайное усечение.

Предположим, что любая женщина выходит на работу только в том случае,

если ее потенциальный доход будет превышать некоторый критический уровень (для каждой женщины свой). Допустим, переменная zt представляет собой разность между потенциальным и критическим доходом, и

зависимость между переменной zt и влияющими на нее факторами xt1 можно представить следующим образом:

где xt(1) – вектор независимых факторов, влияющих на разность доходов

(например, возраст, образование, количество детей и т. д.); – вектор параметров модели; t(1) – ошибка модели.

Для всех женщин, у которых zt 0, требуется определить желательное количество рабочих часов yt. Предположим, что зависимость между переменной yt и влияющими на нее факторами хt(2) также можно описать линейной эконометрической моделью:

где xt(2) – вектор независимых факторов, влияющих на желательное количество рабочих часов (например, семейный статус, количество детей и т.

д.); – вектор параметров модели; t(2) – ошибка модели.

Заметим, что вектора xt(1) и xt(2) могут как совпадать, так и отличаться друг от друга.

При формировании модели (10.175) возникает проблема усечения,

поскольку данные о часах работы имеются только для работающих женщин,

т. е. число часов – случайно усеченная переменная.

В разделе 10.3.1 рассматривалась модель миграции, в которой переменные,

влияющие на принятие решения о смене места жительства, были представлены эконометрическими моделями в зависимости от набора

соответствующих факторов. В целом модель содержала три уравнения:

где wt, xtp и xtm – вектора независимых переменных, влияющих соответственно на чистую прибыль от переезда, и доходы в случае переезда и

“непереезда”; , и – вектора параметров; ut, tp и tm – ошибки модели.

Предположим, что совокупность мигрантов формируется из числа лиц,

желающих переехать, для которых чистая прибыль от переезда положительна. Чистая прибыль от переезда zt*, определяется согласно

Для совокупности мигрантов формируется уравнение, связывающее величину их дохода на новом месте уt с некоторым набором факторов xt,

характеризующих, например, опыт работы, пол, образование и т. д:

где – вектор параметров; t – вектор ошибки.

Переменная уt является случайно усеченной, так как информация о доходе мигранта может быть получена, когда переезд индивидуума на новое место

жительства уже осуществился, и индивидуум приступил к работе.

Предположим, что они распределены согласно двумерному нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и коэффициентом корреляции . В этом случае в соответствии с выражениями (10.169)–(10.170)

получим:

M[yt | yt наблюдаемый доход]=M[yt |zt* 0]=M[yt | ut – wt]= = xt+M[ t | ut – wt]= xt + t ( u)= xt + t ( u), (10.181)

где u =– wt /u и t(u)= (wt /u)/ (wt /u).

Выражение (10.181) показывает, что условное математическое ожидание выборочной совокупности доходов мигрантов при условии zt 0 находится в

опосредованная, характеризующая влияние факторов xt на вероятность того,

что переменная zt* положительна, определяется слагаемым t(u).

На практике значение переменной zt* не наблюдается, она является латентной. Наблюдаемая переменная z принимает значение 1 (событие произошло) или 0 – в противном случае. В наших примерах: женщина работает или нет, индивидуум мигрирует или нет. С учетом этого представим модель (10.179)–(10.180) в виде совокупности двух следующих моделей:

сменившего место жительства случайную выборку мигрантов, лиц фактически сменивших место жительства, для которого zt =1.