Эконометрика. Тихомиров

Задание 11.6

Имеется нелинейное уравнение регрессии

где t распределена по закону Коши с функцией плотности f(z)=1/ (1+z2).

Требуется построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафcона.

Задание 11.7

В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:

yt=4x1t+0,5x2t+еt

с ковариационной матрицей

Требуется:

1. Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:

а) H0 : 1 2=1;

б) H0 : ln(1)+ln(2)=0.

Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.

2. Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно

вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа применительно к полученному результату.

3. Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением – 510, а величина выборки

Т=40.

ГЛАВА XII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

12.1. Особенности эконометрического прогнозирования

Прогнозирование является одной из основных сфер практического применения эконометрических моделей. Эконометрические прогнозные исследования, начало которым было положено в конце 20-х годов ХХ-го столетия* , уже через два-три десятилетия сформировались в

самостоятельное направление в экономической науке. При этом круг прогнозируемых процессов постоянно расширялся. В настоящее время эконометрические прогнозы разрабатываются практически для всех процессов, характеризующих развитие общества как на микро-, так и на мезо-, и макроуровнях его организации. В частности, самое широкое применение эконометрические модели находят в разработках прогнозов спроса и предложения, научно-технического прогресса, финансов и цен,

уровня жизни, производительности труда, валового продукта, миграции,

занятости и многих других явлений.

Термин “эконометрическое прогнозирование” обычно означает процедуру получения на основе эконометрических моделей некоторых характеристик зависимого процесса у (совокупности зависимых процессов), относящихся к следующим за моментом Т (последней точкой периода наблюдения)

моментам Т+1, Т+2,... . Для “типовой” эконометрической модели, состоящей

из единственного уравнения, к числу важнейших таких характеристик

относятся непосредственно прогнозные значения зависимой переменной yT 1,

yT 2 , ...(точечные прогнозы) и показатели их точности – обычно дисперсии прогнозов 2(уТ+1), 2(уТ+1),..., доверительные интервалы, в которых с

* Попытки разработки прогнозов финансовых показателей на основе простейших типов моделей финансовой эконометрики предпринимались фактически с момента формирования финансовых рынков.

заданной вероятностью будут находиться “истинные” значения рассматриваемого процесса уT+1, уT+2,... (интервальные прогнозы).

В этой связи следует отметить, что развитие эконометрических прогнозных исследований в значительной степени было обусловлено именно относительной простотой процедур разработки прогнозов, ясностью и определенностью использования их результатов в практике управления общественным развитием. В самом деле, для построенной на интервале времени (1,Т) эконометрической модели с известными оценками

подставлению в уравнение (12.1) соответствующих прогнозным моментам

Т+1, Т+2,... значений независимых переменных хi, i=1, 2,..., n; и фактической ошибки еT+1, еT+2,... . Заметим, что для “типовой” линейной модели

уt = a0+a1 х1t+...+an хnt +et

подставить значения независимых переменных хi, T+1, i=1, 2,..., n,

выражающих их уровни в этот же момент Т+1. В некоторых исследованиях,

когда момент Т+1 относится к “будущему”, эти уровни могут быть точно неизвестными. Они могут определяться по результатам других прогнозных разработок, отражать какие-либо гипотезы, выдвигаемые в отношении характера развития независимых переменных. Если ошибка модели удовлетворяет стандартным для нее предположениям (равенство нулю математического ожидания, отсутствие автокорреляционных связей и т. д.),

то точечный прогноз в этом случае определяется как оценка математического

ожидания значения у в точке Т+1 в предположении, что оценки

Такие прогнозы, полученные с использованием различных

(предполагаемых) вариантов значений независимых переменных в будущие моменты времени, часто называют “условными”, “вариантными”,

подчеркивая тот факт, что значения рассчитываются в зависимости от

предполагаемых вариантов значений хi, T+1, i=1, 2,..., n; т. е. “условий” прогноза.

Однако, например, для модели авторегрессии первого порядка, прогнозное

ошибки) определено выражением (12.3).

Таким образом, все прогнозные значения уT+ , =1,2.... , получаемые на основе авторегрессии можно рассматривать как “безусловные” прогнозы.

Легко заметить, что для модели с лаговыми зависимыми переменными

следует рассматривать уже как “условные”, если значения хi, T+1, хi, T+2,...

точно не известны.

Различие между условным и безусловным прогнозом для “типовой” эконометрической модели можно проиллюстрировать также следующим рисунком (см. рис. 12.1).

Оценочный периодБезусловный прогноз Условный прогноз

Рис.12.1. Типы прогнозов

Рисунок иллюстрирует следующую ситуацию. Оценки коэффициентов модели были получены с использованием исходной информации,

относящейся к интервалу (0,Т). Текущий момент времени определен точкой

Т1. В период от Т до Т1 значения независимых факторов модели известны точно, а после момента Т1 они определяются, исходя из некоторых гипотез,

Наличие такой систематической ошибки обычно приводит к тому, что

модели, будут существенно (и односторонне) отличаться от реальной тенденции развития рассматриваемого процесса.

В этой связи отметим, что разработка безусловных прогнозов на интервале

(Т, Т1) – ex post forecast period – при известном прогнозном фоне может рассматриваться как один из приемов верификации прогнозов на будущий прогнозный период – ex ente forecast period. Отсутствие “систематических” расхождений между реальными значениями рассматриваемого процесса уT+1,

является определенной гарантией “высокого качества” используемой модели.

упреждения, т. е. индекса .

Вместе с тем, следует иметь в виду, что “высокое качество” прогнозной эконометрической модели не является достаточной гарантией обоснованности эконометрических прогнозов, особенно в отдаленной перспективе. Дело в том, что в будущем тенденции развития рассматриваемых процессов, структура и сила взаимосвязей между ними могут существенно изменяться. Эти изменения могут носить эволюционный характер, накапливаясь постепенно, например, вследствие роста масштабов явлений. Они могут происходить и скачкообразно вслед за финансовыми кризисами, революционными преобразованиями в обществе и т. п. При этом

“удачная” для периода (1,Т) эконометрическая модель, как правило, не сможет учесть такие изменения, поскольку она построена на основе информации, отражающей иной характер взаимосвязей между рассматриваемыми явлениями, имевший место в прошлом.

В некоторых случаях обоснованность и достоверность эконометрических прогнозов могут быть повышены путем либо корректировки самих результатов формальной экстраполяции, т. е. “предварительных” прогнозных

построенной эконометрической модели, либо предварительной (до прогноза)

корректировки самой модели, исходя из некоторых дополнительных сведений, предположений. Зачастую такие корректировки осуществляются на основе экспертной информации. В отношении этого американский экономист П.Самуэльсон заметил: “... почти все эконометрики, за редким исключением, корректируют параметры моделей с помощью неформальных методов, считая, что это улучшает результат”*. Обосновывая необходимость уточнения “формальных” эконометрических прогнозов, другой американский экономист М. Уитмент пишет: “Использование эконометрических моделей позволяет опереться на критерии точных дисциплин и получить внутренне согласованные прогнозы. Однако сырые результаты модельных расчетов, так же как и их основополагающие предпосылки, должны быть подвергнуты тщательному экспертному анализу”** .

В такой ситуации при эконометрическом прогнозировании уместным является вопрос о максимально возможной глубине прогнозного периода.

Однозначного ответа на него дать невозможно. Очевидно, что, чем более инерционным является рассматриваемый процесс, чем устойчивее его взаимосвязи, чем стабильнее ситуация в обществе, экономике, тем больше может быть и прогнозный период. В некоторых научных публикациях можно встретить рекомендации определять глубину эконометрического прогноза как 1/3 или 1/2 от величины оценочного периода, т. е. как 1/3Т, 1/2Т.

Обзор эконометрических прогнозных исследований свидетельствует, что многофакторные эконометрические модели, как правило, используются при

*Brooklings model: Perspective and Recent Developments/ Ed. G. Fromm, L. R. Klein, Chicago, 1975.

**Whitman M. Economics throw perspectives// Business economics, 1983, Jan., P. 20-24.

разработке так называемых краткосрочных и в крайнем случае среднесрочных прогнозов. Для многих реальных социально-экономических процессов (спрос, производительность труда, выпуск продукции и т. п.) такие прогнозы разрабатываются на 5-10 временных точек (кварталов, лет – в

зависимости от длины интервала (t, t+1)).

Эти рекомендации не относятся к прогнозам финансовых показателей,

которые разрабатываются на основе моделей финансовой эконометрики. “Финансовые” прогнозы являются, как правило, краткосрочными (на один,

два шага вперед), в то время как модели финансовой эконометрики формируются на основе достаточно длинных временных рядов исходных данных. Это связано с тем, что практически всегда имеется возможность получить “свежую” информацию о текущем уровне рассматриваемого процесса (данные с финансовых рынков становятся доступными без задержки), и на ее основе скорректировать построенную модель.

Достаточно очевидны и выводы, следствия, которые могут быть получены из эконометрических прогнозов, например, в сфере управления. В этой связи заметим, что эконометрические прогнозы разрабатываются для оценки будущих состояний рассматриваемого процесса в зависимости от ожидаемых уровней влияющих на него факторов. При этом, в общем случае факторы можно разделить на три группы: управляемые, неуправляемые и частично управляемые.

Если прогноз разрабатывается на основе неуправляемых факторов

(погодные условия, состояние мировой экономики и т. п.), то и сам процесс является неуправляемым. Прогнозы таких процессов часто называют поисковыми (исследовательскими). В этом случае система управления имеет возможность только приспособиться к его тенденциям прогнозируемого процесса, учесть их при обосновании управляющих мер для соответствующего объекта.

Если факторы являются управляемыми, то система управления может сознательно выбирать, формировать их уровни, определяя тем самым