2.4. Моделирование векторных случайных величин

^{Рассмотрим моделирование непрерывной векторной СВ} Ее полное описание задается совместной ПРВ, гдеT – символтранспонирования.

Стандартный метод моделирования векторных СВ основан на представлении

w(x) в виде произведения

	17

частной (маргинальной) ПРВ величины ^ξ₁и условных ПРВ ^ξ_kпри условии,что . Из формулы (17) следует, что векторξ, можетмоделироваться покомпонентно: сначала величина ^ξ₁с ПРВ ,далее -^ξ₂по ПРВ , потом -^ξ₃как величина с ПРВи т. д. Последней моделируетсяm-я компонента ^ξ_m,имеющая ПРВ .Стандартныйметод требуетопределенной вычислительной работы, связанной с нахождением условных ичастных ПРВкомпонент. После вычисления ПРВ каждая компонентамоделируется как скалярная величина методами, изложенными выше.

Рассмотрим подробнее процесс моделирования многомерногонормального распределения. Случайный вектор имеетневырожденноеm-мерное нормальное распределение, если его ПРВ имеет вид

18

где ^µ^µ₁^,...,µ_m⁾T- математическое ожидание ξ; R=[ρ_ij]- заданная симметрическая положительно определенная m× m -матрица^x-µT^R1^x-µ- квадратичная форма переменных x− µ с матрицей ^BR1. Матрица является ковариационной матрицей вектораξ; обратная ей матрица B часто называется матрицей точности. Распределение (2.18) полностью описывается двумя параметрами: вектором µ и матрицей R. Далее используется краткое обозначение ξ~ N(µ, R).

Если математическое ожидание равно нулю, а корреляционная матрица R равна единичной матрице I, т. е. ξ~ ^N(0,I, то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты ξ равными независимым реализациям СВξ~ N(0,1 ).

В общем случае распределение (18) моделируется с помощью линейного преобразования ^{xAxµ,x~N}^0,I. Здесь m× m -матрица A=[a_ij] определяется разложением ковариационной матрицы R в произведение двух треугольных матриц

RAAT

19

В уравнении (19) будем считать A нижней треугольной матрицей:

В этом случае явный вид коэффициентов ij a определяют следующие уравнения:

a₁₁₁,a_k1_k1a₁,k2,...,m, (20)

1

1

l



_k1 a_kja_ij

a_kl ^j1 ,l2,...,k1, (21) ll

a

k1

2



a_kk_kk a_kj.(22) j1

После определения a₁₁ вычисление элементов A осуществляется пo строкам: сначала по формуле (20) вычисляется первый элемент a_k1k-й строки, далее по формуле (21) находятся последующие элементы a_k2,...,a_k,k1. Диагональный элемент вычисляется с помощью уравнения (22). После вычисления диагонального элемента осуществляется переход на следующую, (^k+1)^-юстроку.

Плохая обусловленность (вырожденность) матрицы A требует проверки на каждой строке условия a_kk_*,k2,...,m, означающего линейную зависимость k-й компоненты вектора ξ. Здесь ε_* - малое число. Если это условие выполняется, то нужно положить ^a_kk^0, длина k-й строки L(k) совпадает с длиной предыдущей. Индекс l принимает значения 2,3,...,L(k) его предельное значение L (k) - переменно. Число L (k)является счетчиком числа линейно независимых элементов последовательности _,...,_. Присвоение L(k)последующего значения ^L^{k1)L}^k^1осуществляется лишь при условии a_kk_*. После расчета последней m-й строки значение L(m) равно рангу матрицы R.

2.5. Заключительные замечания

Существует довольно большое количество методов моделирования СВ. В данном разделе были изложены некоторые из них. При этом преследовалась цель привести примеры алгоритмов для моделирования СВ с распространенными законами распределения. Рассмотрим краткую сравнительную характеристику различных методов моделирования СВ и некоторые рекомендации для выбора того или иного подхода для решения конкретных задач.

В тех случаях, когда требуется высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, целесообразно использовать методы моделирования, не обладающие методической погрешностью. К ним относятся описанные в пп. 2.2, 2.3 алгоритмы получения СВ (5), (6), (15), (16). Погрешностью таких алгоритмов часто можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнения на ЭВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного. Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения СВ, являются системы приёма цифровых радиосигналов с низкой вероятностью ошибки(порядка10^–4…10^–6).

Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических зависимостей. Такие алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования СВ. Например, изменение ПРВ семейства Райса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметров a и σ в алгоритме (16).

Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как выполнение на ЭВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.

B задачах, не предъявляющих высоких требований к качеству СВ, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближённые методы (п. 2.3).

Лекция 6