2 Перевірка статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань і дисперсій

Ефективність виробничого процесу залежить від породжуваної їм дисперсії, що характеризує розкид у даних. Таким чином, для визначення ефективності нового режиму роботи, пов'язаного з удосконаленням обробки деталей, необхідно порівняти генеральні дисперсії й по даним вибірок продуктивності праці.

При порівнянні двох дисперсій і висувають нульову гіпотезу Н₀: = , при конкуруючої Н₁: ≠ . Якщо, за змістом завдання, більшій вибіркової дисперсії () свідомо не може відповідати менша генеральна дисперсія, тобто нерівність < свідомо неможлива, то конкуруюча гіпотеза приймає вигляд Н₁: > . У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використовується односторонній критерій Фішера

. (1.6)

Тут F_кр – критичне значення розподілу Фішера (Додаток В), обчислене при рівні значущості і числі ступенів волі k₁ = n_x–1 і k₂ = n_y–1. Якщо зазначена нерівність виконується, ми схиляємося на корист ь гіпотези Н₁: > , у противному випадку, у нас немає підстави відхилити нульову гіпотезу Н₀: = .

У даному випадку . З Додатку В при = 0,05, k₁ = 9 й k₂ = 8 знаходимо F_кр = 3,39. Так як 2,630 < 3,39, то ми не можемо відхилити нульову гіпотезу і вважаємо рівними генеральні дисперсії і . Це означає, що вдосконалення обробки деталей, у цьому випадку, не є ефективним.

При порівнянні двох математичних сподівань a_x і a_у висувають нульову гіпотезу Н₀: a_x = a_у, при конкуруючій гіпотезі Н₁: a_x ≠ a_у. Методика перевірки альтернативної гіпотези Н₁ залежить від співвідношення генеральних дисперсій і .

Раніше при порівнянні двох дисперсій і нами було встановлено, що  =  = . У цьому випадку оцінкою дисперсії σ² є середньозважена вибіркова дисперсія

.

Якщо заздалегідь відомо, що більшому вибірковому середньому ( ), не може відповідати менше математичне сподівання (a_у ≥ a_x), то альтернативна гіпотеза приймає вигляд Н₁: a_у > a_x. У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використається односторонній критерій Стьюдента

. (1.7)

Тут t_кр – критичне значення розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислене при рівні значущості і числі ступенів волі k = n_x+n_y–2. Якщо зазначена нерівність виконується, то гіпотеза Н₁ :  a_у > a_x вірна, у противному випадку ми визнаємо правильність нульової гіпотези Н₀ : a_x = a_у.

У цьому випадку =42,33–40,60=1,73. З Додатку А при = 0,05 й k = 17 знаходимо t_кр = 2,11, тоді

.

Так як 1,60 < 1,73, то ми схиляємося на користь альтернативної гіпотези Н₁ : a_у > a_x. Отже, розбіжність між вибірковими середніми й невипадкова, при 5% рівні значущості воно є істотним і приводить до значимого підвищення продуктивності праці після вдосконалення обробки деталей.

Відзначимо, що якщо при порівнянні двох дисперсій і було встановлено, що  >  ( ), то для перевірки гіпотези Н₁: a_у > a_x варто використати односторонній критерій Стьюдента вигляду

, (1.8)

де , , t₁ й t₂ – квантилі розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислені при рівні значущості і числах ступенів волі k₁ = n_x–1 й k₂ = n_y–1 відповідно.