3 Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності у випадку вибірки малого обсягу

В основі критеріїв згоди, за допомогою яких перевіряється гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності лежить порівняння асиметрії і ексцесу нормального закону з їхніми оцінками, отриманими за даними вибірки.

Відомо, що у випадку нормального розподілу генеральної сукупності Х асиметрія і ексцес дорівнюють нулю, а відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії й ексцесу рівні

(1.9)

де μ_k – центральний момент вибірки порядку k, що обчислюється за формулою

(1.10)

При невеликому об’ємі вибірки Фішер рекомендує в якості оцінок асиметрії А і ексцесу Е розглядати величини

(1.11)

Очевидно, при невеликих значеннях n оцінки й будуть помітно відрізнятися від вибіркових А_в й Ев. Виявляється, що у випадку нормального розподілу оцінки й мають із великим ступенем точності нормальні вибіркові розподіли, причому їх математичні сподівання дорівнюють нулю, а дисперсії визначаються виразами

(1.12)

Таким чином, завдання полягає у відповіді на питання: чи значимо оцінки і відрізняються від своїх математичних сподівань, тобто від нуля?

Фішер пропонує користуватися наступним наближеним критерієм згоди:

. (1.13)

Для обчислення оцінок і асиметрії А и ексцесу Е скористаємося даними двох вибірок об’ємів n_x = 10 і n_y = 9. Допоміжні обчислення вибіркових центральних моментів наведені в табл. 1.2 і табл. 1.3.

Таблиця 1.2 Обчислення центральних моментів першої вибірки

xi
42	1,4	1,96	2,744	3,8416
43	2,4	5,76	13,824	33,1776
38	– 2,6	6,76	– 17,576	45,6976
40	– 0,6	0,36	– 0,216	0,1296
43	2,4	5,76	13,824	33,1776
38	– 2,6	6,76	– 17,576	45,6976
40	– 0,6	0,36	– 0,216	0,1296
41	0,4	0,16	0,064	0,0256
39	– 1,6	2,56	– 4,096	6,5536
42	1,4	1,96	2,744	3,8416
Σ	0	32,4	– 6,48	172,272
Середні	μ1 = 0	μ2 = 3,24	μ3 = –0,648	μ4 =17,227

Таблиця 1.3 Обчислення центральних моментів другої вибірки

yj
42	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
43	0,667	0,444	0,296	0,198
44	1,667	2,778	4,630	7,716
42	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
44	1,667	2,778	4,630	7,716
43	0,667	0,444	0,296	0,198
40	– 2,333	5,444	– 12,704	29,642
42	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
41	– 1,333	1,778	– 2,370	3,160
Σ	0	14,000	– 5,333	48,667
Середні	μ1 = 0	μ2 = 1,556	μ3 = –0,593	= 5,407

Використовуючи дані табл. 1.2, для першої вибірки одержуємо

Бачимо, що критерій згоди (1.13) виконується.

Аналогічно за даними табл. 1.3 для другої вибірки знаходимо

Тут також критерій згоди (1.13) виконується.

Таким чином, дані вибірки погоджуються з нормальним розподілом генеральних сукупностей. Отже, проведені раніше процедури оцінювання математичних сподівань і дисперсій, а також перевірки статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань і дисперсій двох генеральних сукупностей виправдані.

Список літератури

1 Назаренко А.М. Эконометрика: Учебное пособие. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2000. – 404 с.

2 Назаренко О.М. Основи економетрики: Підручник. - Київ: „Центр навчальної літератури”, 2004. - 392 с.

24