3. Число степеней свободы материальной системы. Обобщенные координаты.

Число степеней свободы является важнейшей характеристикой системы, оценивающей ее реальную сложность. Первичным и ключевым для аналитич-й мех-ки является понятие обобщенных координат. Поясним его вначале на примерах.

Положение свободной материальной точки М на плоскости можно задать двумя декартовыми координатами x_M, y_M (рис.1). Однако то же можно сделать и при помощи двух полярных координат r, j.

Полярные координаты являются частным случаем так называемых криволинейных координат. Существует и бесконечно большое количество других способов задания положения точки на плоскости при помощи криволинейных координат. Объединяет все эти случаи то, что число координат равно двум.

Математический маятник (рис.2) является частным случаем точки, движущейся по плоскости по заранее заданной траектории (в данном случае окружности радиуса l). В этом случае для задания положения точки достаточно одной координаты. Это может быть, например, угол отклонения маятника j либо расстояние s точки М от начала отсчета на траект-ии О (расст. s измеряется вдоль траект-ии). Т.о., наличие одной связи (нити) уменьшило к-во коор-т с 2-х до 1.

Для задания положения одновр-о 2-х матер-ных точек М₁, М₂ на плоскости требуется 4 коор-ты: x₁, y₁, x₂, y₂ (рис.3). Однако если точки соединены стержнем фиксированной длины l, то координаты точек удовлетворяют соотношению: След-но, независимыми являются только три коорд-ы (напр., x₁, y₁, x₂). Четвертую (y₂) можно найти из пред-го ур-я.

Т.о., для зад-я положения данной системы необходимы 3 коор-ы. И здесь, как и выше, выбор коор-т неоднозначен. Напр., очень удобно задавать полож. Отр-ка М₁, М₂ двумя коор-ми од-го из его концов (x₁, y₁) и углом наклона j.

Примером системы с двумя степенями свободы является двойной маятник (рис.4). И здесь выбор координат неоднозначен. Кроме 2-х углов, указ-х на рис.4, можно использовать другие углы (рис.5) и бесконечно большое кол-во других вариантов. Рассм-м произв-ю плоскую фигуру, свободно перемещ-юся по плоскости. Например, это может быть хоккейная шайба, скользящая по льду (рис.6). Соединим с этой фигурой некоторый отрезок АВ. Тогда, так же как в случае, изображенном на рис.3, видно, что положение фигуры однозначно задается тремя координатами x_A, y_A, j.Однако если имеется одна связь, например, дорога, по которой со скольжением движется колесо (рис.7), то независимыми являются только две координаты x_A, j.

В случае, если колесо катится без пробуксовки, то величины x_A и j связаны соотношением: x_A=Rj (1.1.2) Следовательно, независимой остается только одна координата (x_A или j на выбор).

Мы видим, что положение материальной системы в пространстве можно задавать различными параметрами различной размерности, но в любом случае эти параметры учитывают наличие связей, которые имеются в данной системе, и их число можно свести к минимально необходимому для решения поставленной задачи. В итоге можно сделать следующее Определение 1. Обобщенными координатами данной материальной системы являются любые параметры любой размерности, удовлетворяющие двум требованиям:1) они однозначно задают положение системы в пространстве; 2) они независимы между собой. Естественным следствием этого определения является Определение 2. Числом степеней свободы материальной системы называется количество ее обобщенных координат.

Число степеней свободы является важнейшей характеристикой любой системы.