4 Анализ и расчет цепей с индуктивной связью
4.1 Индуктивно связанные элементы цепи
Если по некоторой
катушке k проходит
ток
,
то вокруг неё создаётся магнитное поле
и эту катушку характеризуют потокосцеплением
.
Более удобно катушку характеризовать
индуктивностью:
.
Если где-то расположена индуктивная
катушка n, то часть
магнитного поля k-ой
катушки будет сцепляться с витками n-ой
катушки. Этот эффект характеризуют
потокосцеплением
.
Удобнее этот эффект оценивать коэффициентом
взаимной индуктивности
:
.
Появление
потокосцепления
на n-ой катушке,
вызванное током, проходящем по k-ой
катушке, называют индуктивной связью.
В линейных цепях
=
.
Для характеристики степени связи катушек вводится коэффициент связи:
.
Поделим и умножим
на
и
.
Учтем связь
=
для линейных цепей. Получим:
.
Откуда
.
,
если катушки не связаны
,
и если сильно связаны, то
.
Т.о. при наличии нескольких индуктивно связанных катушек потокосцепление некоторой k-ой катушки будет равно:
.
Используя
коэффициенты
и
,
получим
.
В соответствии с
законом электромагнитной индукции
изменяющийся во времени поток создаёт
в катушке напряжение. Если все катушки
неподвижны, то
и
постоянны и изменяющиеся потоки
получаются за счет изменяющихся токов:
,
где первое слагаемое называется напряжением самоиндукции, а второе – напряжением взаимоиндукции.
Т.о, явление взаимной индукции состоит в том, что ток одних катушек, изменяясь во времени, вызывает напряжение на других катушках, индуктивно связанных с первыми.
Если все токи
синусоидальные, то можно воспользоваться
символическим методом. От мгновенных
значений токов и напряжений переходим
к комплексам действующих или амплитудных
значений, при этом
,
.
В нашем случае получаем:
.
Если катушки представляют собой реальные объекты, то с помощью правила правого винта легко установить какие потоки взаимоиндукции будут суммироваться с потоком самоиндукции, а какие вычитаться (аналогично для напряжения). Если мы работаем со схемами, то приходится применять значки и термины. Значками помечают одноимённые зажимы катушек.
Одноимёнными зажимами двух индуктивно связанных катушек называются такие два конца катушек, что если токи в катушках направлены одинаково относительно этих зажимов, то потоки и напряжения самоиндукции и взаимоиндукции будут суммироваться.
;
Пользуясь понятием одноимённых зажимов, можно расставить на схеме все напряжения и после этого составить уравнения по законам Кирхгофа, но это очень не удобно. Поэтому при расчёте цепей по второму закону Кирхгофа руководствуются специальным правилом, выводимым из понятия одноимённых зажимов: напряжение взаимоиндукции на катушке k, вызванное током катушки n, берется со знаком «+», если направление обхода контура с катушкой k и направление тока в ветви с катушкой n одинаково направлены относительно одноименных зажимов, иначе берется знак «-».
4.2 Расчёт режимов цепей с индуктивными связями
Нельзя сворачивать элементы цепи. Нельзя применять метод узловых потенциалов в той форме, в которой он был рассмотрен ранее, так как токи в этих схемах зависят не только от разности потенциалов концов ветвей, но и от наводимых в катушках напряжений взаимной индукции.
Метод уравнения Кирхгофа и метод контурных токов применять можно, при этом руководствуются следующим правилом: напряжение взаимоиндукции на катушке k, создаваемое током в катушке n берётся со знаком «+», если направление обхода катушки k и направление и направление тока в катушке n одинаково относительно одноимённых зажимов этих катушек.
Метод эквивалентного генератора можно применять, если нагрузка не имеет индуктивной связи с активным двухполюсником. В случае, когда метод применим, входное сопротивление активного двухполюсника следует искать также, как в схеме с управляемыми источниками.
-
,
при условии, что автономные источники
заменены их внутренним сопротивлением,
а к входным зажимам подключен дополнительный
источник.
-
.
Метод наложения и пропорциональных величин можно применять, так как это общие методы расчёта линейных цепей.
Пример: найти входное сопротивление в следующих схемах
Рис. 1
Рис. 2
В этом случае можно
воспользоваться методом пробного
источника. Подключим к каждой схеме
пробные источники
1)
2)
Из примера видно, что модуль входного сопротивления в схеме рис. 1 больше, чем модуль входного сопротивления в схеме рис. 2. Первое соединение называется согласным, а второе встречным. На практике эту задачу можно использовать для экспериментального определения одноименных зажимов катушек.
Пример: найти входное сопротивление схемы
1. Воспользуемся методом пробного источника.
.
2. Воспользуемся методом контурных токов.
При нахождении уравнений методом контурных токов удобно сначала записывать уравнения без учёта индуктивных связей и только потом можно писать правую часть, после этого можно переписывать уравнения, приведя подобные члены.
,
,
Пример: записать систему уравнений Кирхгофа и метод контурных токов
Рассмотренные примеры показывают, что даже в сравнительно простых цепях наличие индуктивных связей существенно усложняет запись уравнений и не даёт применять любые методы. Поэтому разработаны искусственные приёмы, позволяющие исключить в явной форме индуктивные связи.