§6 Показникова та степенева функції в комплексній області

Нехай − довільне комплексне число, тоді якщо , то під ми будемо розуміти число . Ясно, що при приймає лише одне значення. Якщо − раціональне число, то як ми теж знаємо, . Таких значень буде (дріб нескоротний). Потрібно тепер ввести поняття степеня з ірраціональним показником. Візьмемо і розглянемо довільну послідовність раціональних чисел таких, що . Тоді розглянемо послідовність і її границею назвемо число . Неважко довести, що

. (1)

Оскільки будь-які два значення відрізняються одне від одного на величину , то з ірраціональності числа випливає, що число ніколи не буде цілим числом, а отже число ніколи не буде періодом синуса і косинуса. А отже, ми одержимо стільки значень скільки значень має (безліч значень). Отже, якщо , то - нескінченно значна величина, тобто набирає безліч значень.

Розглянемо далі що буде, коли і встановимо, що таке . Для того, щоб можна було означити останнє (), дещо по-іншому перепишемо формулу (1):

.

Зауважимо, що права частина останньої рівності має зміст і коли є комплексним числом. Це дозволяє нам ввести степінь з довільним комплексним показником. Будемо мати:

.

Оскільки різні значення ніколи не будуть відрізнятися на величину кратну , то різним значенням логарифма відповідатимуть різні значення , а отже, − нескінченно значний вираз (приймає безліч значень).

Отже, підсумовуючи вище сказане, будемо мати: ми знаємо, що таке при все можливих комплексних і відмінних від 0, зокрема, якщо

− однозначний вираз,

− - значний вираз,

і − нескінченно значний вираз.

Маючи цю інформацію, можемо тепер ввести показникові і степеневу функції в комплексній області.

Означення. Функція виду , де фіксоване число, називається степеневою в комплексній області.

Переписавши її у вигляді , помітимо, що це, взагалі кажучи, (за винятком окремих ситуацій для ) є нескінченно значною функцією. Враховуючи інформацію про точки розгалуження логарифмічної функції і пам’ятаючи, що при і раціональних набиратиме безліч значень, робимо висновок, що ця функція є нескінченно значною, точки 0 і є її точками розгалуження і однозначні вітки цієї функції можна виділяти в області, що є - площиною, розрізаною по променю, що виходить з початку координат під довільним кутом до дійсної осі. Для фіксації тієї чи іншої вітки потрібно зафіксувати відповідне значення .

Розглянемо функцію , де , − довільне комплексне число. Перепишемо дещо інакше цю функцію . Зрозуміло, що теж за рахунок нескінченно значності ми теж одержимо безліч значень . Зокрема, зафіксувавши одне із значень , ми одержимо одну із віток . Тепер ми зафіксуємо якесь значення і зробимо з точкою повний оберт навколо початку координат, тоді ми повернемося до того самого значення , а не значення наступної вітки, як було раніше. Отже, одержимо, що − многозначна функція, яка має безліч однозначних віток, але на відміну від попередніх ситуацій, нема точки розгалуження і отже, однозначні вітки можна виділяти на всій комплексній площині, зафіксувавши одне із значень .

Спробуємо з’ясувати чи, поклавши , ми не одержимо, що співпадатиме з раніше введеною .

.

З останньої будемо мати, що і . Зокрема, якщо , то . Отже, ми бачимо, що значення є серед значень (при ), але остання має безліч інших значень. Отже, правильніше було б написати

.

Далі, в дійсному аналізі ми, крім натуральних логарифмів, використовували логарифми з довільною іншою основою. А як буде тут?

По аналогії до дійсного аналізу розглянемо функцію . Зафіксуємо якесь одне із значень і позначимо його через . Одержимо

().

Але з іншого боку остання функція одержується із і вона є оберненою до останньої і по аналогії з дійсним аналізом обернену функцію до називають логарифмічною функцією за основою числа і позначають . Ми одержали логарифмічну функцію з довільною відмінною від 0 основою в комплексній області. Отже,

,

де в знаменнику написане одне із значень . Зрозуміло, що беручи в знаменнику різні значення , ми одержимо різні логарифмічні функції за основою . Зокрема зауважимо, що тут ми можемо розглядати логарифми за від’ємною основою і за основою , чого ми не могли зробити в дійсному аналізі.

Закінчимо цей розділ постановкою такої проблеми: дещо вище ми ввели поняття степеня з довільним комплексним показником і нічого не сказали про властивості (за винятком многозначності). В дійсному аналізі справедливі такі рівності:

і .

А чи вірні вони будуть, коли ? Спробуйте самостійно розібрати цю проблему.

Дещо вище ми займалися проблемою існування похідної функції комплексного аргументу. На цей рахунок в нас є критерій, який дає вичерпну відповідь на питання існування похідної. Ми показали, що з похідною функції тісно пов’язане конформність відображення цією функцією. Далі, як буде зрозуміло із нижче викладеного матеріалу, важливе значення мають комплексно значні функції комплексного аргументу, які мають похідну не тільки в окремо взятій точці деякої площини, а в кожній точці деякої області. Такі функції називають аналітичними в області. Як буде встановлено нижче, такі функції мають багато властивостей, яких не мають дійсні функції, диференційовні на якихось проміжках.