Розділ 1. Вступні зауваження і факти

§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами

Нагадаємо далі деякі відомості про комплексні числа. Число виду , де , та називається комплексним числом. Таку форму запису комплексного числа називають алгебраїчною.

− дійсна частина;

− коефіцієнт при уявній частині.

Очевидно, що між множиною комплексних чисел і точками простору є взаємно однозначна відповідність.

.

Множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел. Кажуть, що множина є розширенням множини . Число називають уявною одиницею.

На множині операції додавання і множення визначаються наступним чином

,

.

Операції віднімання і ділення одержуємо за алгебраїчним принципом, якщо врахувати, що нульовим елементом тут є число , одиничним − , протилежним до числа є число , симетричним (оберненим) (якщо ) до цього числа є число :

,

.

Геометричну інтерпретацію додавання і віднімання комплексних чисел див. на рис. 1.

Неважко переконатися, що відносно операцій додавання і множення комплексні числа утворюють поле.

Поряд з комплексним числом розглядають спряжене комплексне число . Звідси маємо, що справедливі рівності

, , .

причому

,

Комплексні числа можна записувати не тільки в алгебраїчній формі, а й в так званій тригонометричній формі. Візьмемо комплексне число , яке зображене на рис. 2. Довжина вектора називається модулем числа (позначається ), а кут φ, який утворює вектор з додатним напрямом осі , називається аргументом комплексного числа і позначається . З рисунка видно, що

.

Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Очевидно, що справедливі наступні рівності

, .

Оскільки аргумент будь-якого комплексного числа (за винятком 0, для якого аргумент невизначений), набирає безліч значень, то домовимось те значення аргументу , яке попадає на називати головним значенням аргументу і позначати . Тоді зрозуміло, що кожне відмінне від 0 комплексне число має свій єдиний модуль і своє єдине головне значення аргументу.

Подивимося як перемножити два комплексні числа, записані в тригонометричній формі. Нехай маємо числа і . Тоді добуток двох комплексних чисел і буде записуватися за формулою

,

яку можна отримати, записавши добуток комплексних чисел в алгебраїчній формі. Геометричний зміст добутку комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі, видно з рис. 3.

Легко здогадатися, що

.

З правила множення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі, одержуємо формулу піднесення комплексного числа до натурального степеня:

.

Вище записана формулу називають формулою Муавра.

З'ясуємо тепер як добувати корінь n-го степеня з комплексного числа. Нехай маємо комплексне число . Тоді | . Нехай , де і − невідомі. Для знаходження і скористаємось тим, що і формулою Муавра. Одержимо:

.

З останньої рівності маємо:

і , і , .

Отже, , .

Різні значення в дужках одержимо лише при k=0, 1, 2,..., n-1. Якщо k надаватимемо інших значень, то в дужках одержимо одне із раніше отриманих чисел. Таким чином остання формула дає значення кореня n-го степеня з комплексного числа і попередній аналіз показує, що цей корінь n-значний (якщо ). Якщо ми зобразимо всі значення кореня n-го степеня з комплексного числа на комплексній площині, то вони лежатимуть у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса .

Зауважимо, що із раніше сказаного маємо

, , , .

Можна довести, що тут теж мають місце нерівності, відомі нам з дійсного аналізу

, .