Тема 3. Средние величины и показатели вариации

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Таблица 1-Средние величины и их расчет

Категории и виды средних величин	простые	взвешенные
СТЕПЕННЫЕ: арифметическая
гармоническая
квадратическая
кубическая
геометрическая
2)СТРУКТУРНЫЕ:	для дискретного ряда	для интервального ряда
Мода	определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой
Медиана	делит упорядоченную по возрастанию или по убыванию признака совокупность на две равные части, то есть стоит в середине ранжированного ряда

Вариацией называется наличие различий в численных значениях признака у единиц изучаемой совокупности.

Таблица 2 –Показатели вариации и их расчет

Показатели вариации		простые		взвешенные
1) АБСОЛЮТНЫЕ: Размах (амплитуда) вариации				-
Среднее линейное отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
2) ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ:
Коэффициент вариации: .	Коэффициент осцилляции:		Линейный коэффициент вариации:

Задача 1. Расчет средних арифметических и гармонической взвешенной величин. По данным таблицы определите средний валовой сбор, среднюю посевную площадь и среднюю урожайность зерновых культур по группе хозяйств в целом.

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

№ п/п	Посевная площадь, га	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц с 1 га
1	800	12400
2	320	3936
3	1250	22250
4	670	10100
5	450	9090

Средний размер посевной площади и средний валовой сбор вычислим по формуле средней арифметической простой, так как известны отдельные варианты признака:

Среднюю урожайность зерновых культур можно определить разными способами:

1) по формуле средней арифметической взвешенной, так как известны варианты признака (- урожайность ) и их частоты (- посевная площадь):

2) по формуле средней гармонической взвешенной, так как известен общий объем явления (- валовой сбор) и варианты признака (- урожайность ):

Вывод__________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. Расчет средних величин и показателей вариации

Определите среднюю урожайность в целом по зерновым культурам, размах вариации, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации за два года по следующим данным:

Виды зерновых	Базисный год		Отчетный год
	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц
		Х	Х	W
Озимые	500	30,0	22,1	13260
Яровые	1500	22,1	20,0	3200
Зернобобовые	700	13,5	14,0	9800
Итого		х	х

1) Показатели за базисный год:

Средняя урожайность =

Размах вариации:

Среднее квадратическое отклонение =

Коэффициент вариации: =

2) Показатели за отчетный год:

Средняя урожайность =

Размах вариации:

Среднее квадратическое отклонение =

Коэффициент вариации: =

Вывод:________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. Расчет средней арифметической взвешенной в интервальном ряду. Определите по данным таблицы:

1. сколько гектаров пашни приходится в среднем на 1 хозяйство;

2. сколько чел.-дней труда в среднем затрачено на 1 га пашни;

3. какова средняя производительность труда.

Группы хозяйств по площади пашни, га	Число хозяйств в группе	Затраты труда на 1 га пашни, чел.-дней	Производительность труда, руб/чел.- день
600-1000	40	50	280
1000-2000	20	40	320
2000-3000	20	30	400
3000-5000	10	20	500

Решение: Все искомые показатели определяются по формуле средней арифметической взвешенной: , но в зависимости от содержания осредняемого признака за вес принимаются разные показатели. Средняя площадь пашни в каждой группе хозяйств численно равна середине интервала и определяется как полусумма верхней и нижней границ интервала.

1. Средняя площадь пашни на 1 хозяйство (вес- число хозяйств):

2) Средние затраты труда на 1 га пашни (вес-площадь пашни):

3) Средняя производительность труда (вес-затраты труда):

Задача 4. Расчет средней гармонической взвешенной

Имеются данные о реализации картофеля и выполнении плана его реализации по отдельным сельскохозяйственным предприятиям:

Сельскохозяйственные предприятия	Фактически реализовано картофеля, т	Выполнение плана реализации, %
1 2 3 4 5	310 290 430 350 240	101 99 105 94 103

Определите средний процент выполнения плана реализации картофеля.

Решение: Известно, что показатель выполнения плана равен отношению фактического уровня к запланированному, поэтому средний процент выполнения плана вычисляем по средней гармонической взвешенной:

где - фактическая продажа в i-том предприятии;

-степень выполнения плана i-тым предприятием;

- плановая продажа, предусмотренная i-тым предприятием.

Ответ:_____________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Задача 5. Расчет средней гармонической простой. Имеются данные хронометражного наблюдения группы стригалей овец, из которых видно, что один из них затрачивал на стрижку одной овцы -20 мин., второй –22 мин., третий - 25 мин. Требуется определить средние затраты времени на стрижку одной овцы и коэффициент вариации.

Решение: Средние затраты времени на стрижку одной овцы определяются по формуле средней гармонической простой, так как затраты труда на единицу работ (стрижку одной овцы) есть показатель, обратный прямому показателю производительности труда (острижено овец за единицу времени):

Среднее квадратическое отклонение – простое:

Коэффициент вариации

Ответ:_____________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Задача 6. Расчет степенной и структурных средних в интервальном ряду

По данным таблицы определите среднюю величину, моду и медиану урожайности зерновых культур:

Урожайность зерновых культур с 1 га, ц	Число хозяйств (локальные частоты)	Накопленные частоты
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
Итого		х

Решение: Средняя арифметическая взвешенная:

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

где- - нижняя граница модального интервала;

- величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота домодального интервала;

- частота замодального интервала.

В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

где-- нижняя граница медианного интервала;

- полусумма всех частот;

- накопленная частота предмедианного интервала;

-частота в медианном интервале.

Задача 7. Расчет степенной и структурных средних в дискретном ряду

По данным таблицы определите среднюю величину, моду, медиану успеваемости студентов по статистике, а также показатели вариации.

Балл оценки	2 (неуд.)	3 (удовл.)	4 (хор.)	5 (отл.)	Всего
Число студентов	…	…	…	…	…
Накопленные частоты	…	…	…	…	х

Решение:

Задача 8. Расчет средней геометрической простой

Объем продукции предприятия в 1999г. был выше объема продукции 1998 г. на 3%. В 2000г. по отношению к 1999г. он составил 105%. В 2001г. он был в 1,2 раза больше объема 2000г. В 2002г. предприятие выпустило продукцию на сумму 30 млн. руб., что на 10% больше, чем в 2001г. В 2003г. – на сумму 35 млн. руб. и в 2004г. на сумму 40 млн. руб. Определите среднегодовой темп роста и установите абсолютные уровни за все годы.

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Годы	Абсолютные уровни ряда , млн.руб	Цепные коэффициенты роста
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004

Среднегодовой темп роста исчисляется двояко:

1)

где n – число цепных темпов роста.

2)

где n – число уровней ряда.

Вывод:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 9. Использование свойств средней арифметической величины

Определите среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, применяя метод «моментов» или отсчета от «условного нуля», по данным таблицы 1 о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

Таблица 1-Расчет средней величины и показателей вариации методом моментов

Группы скважин по глубине, м	Число скважин, f	Середина интервала, м
До 500	4
500-1000	9
1000-1500	17
1500-2000	8
свыше 2000	2
Итого

Решение: Некоторые свойства средней арифметической используются для упрощенного (устного) расчета средней величины и среднего квадратического отклонения (абсолютного показателя вариации), а именно:

1) Если от каждой варианты отнять какое – либо произвольное число (А), то новая средняя уменьшится на это же число.

2) Если каждую варианту разделить на какое – либо произвольное число (), то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз.

Для упрощения расчетов за А рекомендуется брать признак с наибольшей частотой (А=…), за - величину интервала (…). Этот упрощенный расчет носит название «метод условного нуля» или «метод моментов». Формула средней арифметической принимает вид:

Среднее квадратическое отклонение () методом моментов исчисляется по формуле:

Дисперсия

где первый момент исчисляется

а второй

Коэффициент вариации, %:

Вывод:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 10. Дисперсионный анализ. Разложение вариации по источникам возникновения.

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 установите существенность влияния органических и минеральных удобрений на урожайность картофеля (долю межгрупповой вариации в общей вариации).

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Варианты опыта	Повторности опыта				Сумма	Средняя урожайность, ц с 1 га
	1	2	3	4
Контроль (без удобрений)	93,7	81,0	69,7	76,2
Органические удобрения	161,0	161,0	149,0	162,0
Органические и минеральные удобрения	183,0	181,0	161,0	187,0
Всего

Дисперсионный анализ строится по следующей схеме:

1. Определяются общая, межгрупповая и остаточная вариации (дисперсии):

=++=

Правило сложения вариаций позволяет проверить правильность расчетов:

=

Дисперсии определяются делением соответствующих вариаций на численность единиц совокупности:

Правило сложения дисперсий:

2) Определяется влияние фактора на вариацию исследуемого признака.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, складывающейся под влиянием признака – фактора в общей вариации:

Эмпирическое корреляционное отношение, изменяясь в пределах от 0 до 1, характеризует силу влияния признака – фактора на вариацию изучаемого признака. Чем ближе к нулю, тем слабее влияние признака – фактора, чем ближе к единице, тем сильнее это влияние.

3) Определяются дисперсии на одну степень свободы. Эти дисперсии называются общей, факторной и остаточной, но обозначаются иначе , так как определяются путем деления вариаций на соответствующее число степеней свободы, а не на число единиц совокупности:

где - число единиц совокупности (число наблюдений), равное произведению числа групп на количество повторностей опыта .

4) Вычисляют фактический F-критерий как отношение факторной дисперсии к остаточной и сравнивают его с табличным, которое находят по таблице зная число степеней свободы для каждой из дисперсий. Если , то влияние факторного признака на результативный существенно, если , то это влияние несущественно.

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________

Вопросы для самоподготовки

1. Что такое средняя величина, её виды и способы расчета?

2. Перечислите основные свойства средней арифметической величины.

3. Каковы основные показатели вариации, их виды и способы расчета?