Конечной длины

Конечный цилиндр можно рассмотреть как результат пересечения безграничного цилиндра диаметром 2r₀ и пластины толщиной 2R_z. Следовательно, и безразмерную температуру для такого тела можно записать как:

_,

_.

В уравнении множители правой части находятся по формулам или графикам, причем в качестве определяющих линейных размеров берется половина высоты цилиндра Rz и радиус цилиндра r0.

Порядок расчета температур в избранных точках следующий. Температура в точке 1 устанавливается произведением решений для оси цилиндра радиусом r₀ и оси пластины толщиной 2R_x (рис. 2.13)

_,

_.

Значение функции определяется по графику для оси цилиндра радиусом r₀ по значениям , а значение функции определяется по графику для оси пластины толщиной R_z по значениям . Температура в точках 2,3,4 определяется следующими произведениями:

_.

По значениям безразмерных температур пересчетом определяется размерные температуры в избранных точках.

2.3.6. Численные методы решения задач теплопроводности

Аналитическая теория теплопроводности позволяет решать задачи несимметричного нагрева тел классической формы (пластина, цилиндр, шар) при любом начальном распределении температур, что, бесспорно, является ее достоинством. Как правило, решение дифференциальных уравнений теплопроводности имеет весьма сложный вид, особенно для начальных стадий нагрева, что затрудняет их использование в практических расчетах. Кроме того, дифференциальные уравнения теплопроводности и их решения получены при постоянных теплофизических свойствах – λ, с_p, ρ. В практике эти свойства в зависимости от температуры могут меняться в несколько раз. Кроме этого может существенно изменяться α при граничных условиях III рода. Строгий учет переменности λ и c приводит к усложнению и без того сложных дифференциальных уравнений, которые становятся нелинейными. Решения нелинейных уравнений пока не могут быть получены.

Особенно сложный вид имеют уравнения теплопроводности для теплообмена в слое, для задач плавления и кристаллизации, периодическом нагреве и охлаждении. Попутно следует указать, что особые трудности возникают при решении уравнений теплопроводности для тел сложной формы (многослойные тела, тела сложной геометрической формы).

Все перечисленные сложные задачи могут быть решены с достаточной точностью численными методами решения дифференциальных уравнений. Процесс решения задач с помощью этих методов доступен каждому исследователю.

Однако численные методы имеют один существенный недостаток: полученные результаты трудно анализировать и обобщать. Это потому, что численное решение получается в виде многомерных таблиц числовых данных для каждого конкретного случая.

Наиболее распространенными численными методами являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Первый из них наиболее удобен для анализа процесса теплопроводности в телах сравнительно простой формы, второй – для тел сложной формы.

Математическая сущность метода конечных разностей заключается в том, что интегрирование дифференциального уравнения теплопроводности заменяется решением системы алгебраических уравнений для избранных точек области. Для этой цели истинные производные в дифференциальных уравнениях теплопроводности в данной точке:

заменяются приближенными:

.

Приближенные значения производных определяются через конечные разности независимых переменных Δx, Δτ и через значения температур в избранных точках тела. В соответствии с этим вся толщина пластины разбивается на n элементарных слоев толщиной Δx, а общая продолжительность процесса на m элементарных участков длительностью .

В МКР решение ищется лишь для избранных точек через определенные промежутки времени, то есть решение задачи будет дискретно как в пространстве, так и во времени.

Чтобы определить температуру в избранной точке тела в момент времени τ_к=k·Δτ, требуется определение температур во всех точках тела в предыдущие моменты времени 0, Δτ, 2Δτ, ,(k-1)Δτ. Поэтому процесс решения задачи методом МКР требует большего количества промежуточных расчетов, которые, несмотря на их простоту, делают метод громоздким. Применение ЭВМ свело к минимуму этот недостаток.

Область численного решения уравнения теплопроводности в декартовой системе координат представлена на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Область численного решения уравнения теплопроводности

На рисунке представлено два семейства параллельных прямых x=iΔx (i=0, 1, 2,…, n), τ=kΔτ (k=0, 1, 2,…, m), которые образуют прямоугольную сетку.

Точки пересечения этих прямых называются узлами сетки по координате и времени. Каждый узел обозначается двумя индексами i и k, а температуры обозначаются t_i,k.

При решении задачи определяются температуры в узлах сетки. Два узла сетки называются соседними, если они удалены на Δx. Узлы, расположенные на границе области решения задачи, называются граничными узлами.

Значение температуры в граничных узлах сетки t_i,o на отрезке ОА определяется из начальных условий задачи.

Температуры в граничных узлах на отрезке ОС – t_0,k и АВ – t_n,k определяются с учетом граничных условий. При граничных условиях I рода температуры на отрезках ОС и АВ известны.

Температуры во внутренних узлах сетки определяются следующим образом. Аппроксимация первой производной по времени в МКР производится следующим образом:

Аппроксимация истинного значения производной конечными приращениями связана с появлением погрешности вычисления ε. Величина ε зависит от величин Δx, Δτ и при стремлении их к нулю убывает. Оценка этой в МКР представляет специальный вопрос, который достаточно полно отражен в литературе.

Аппроксимация первой производной по координате в МКР производится следующим образом:

_.

Аппроксимация второй производной по координате в МКР производится следующим образом:

В этом случае аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для избранных точек представлена соотношением:

(2.72)

Уравнение (2.72) справедливо для внутренних узлов сетки.

Разностное уравнение (2.72) содержит значения температур в четырех соседних узлах, как изображено на рисунке 2.15. Если известны температуры

t_i-1,k, t_i,k, t_i+1,k, то из уравнения (2.72) можно определить неизвестную температуру t_i,k+1:

_{Рис. 2.15. Обозначение узлов сетки}

Обозначив , которое представляет собой число подобия Фурье Fо, отнесенное к слою толщиной и промежутку времени , получим:

(2.73)

Расчетная схема, отвечающая уравнению 4, носит название четырех точечной явной схемы.

Последовательность расчета следующая. Зная начальное распределение температур (τ=0; k=0) по уравнению (2.73), определяем температуры в момент времени (k=1) во внутренних узлах первого горизонтального ряда сетки. Температура в горизонтальных узлах ряда сетки известна при граничных условиях I рода, а при граничных условиях II и III рода определяются специальным образом. Далее процесс расчета повторяется.

Таким образом, решая задачу, шаг за шагом определяем распределение температур в нужный момент времени. Если в рассмотренной четырех точечной схеме положить

,

то из уравнения 2 получим формулу Шмидта:

_.

Благодаря простоте вычислений формула Шмидта получила широкое распространение при ручном счете.