Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
§1.Периодические функции и их свойства.
Определение:
Функция
у=f(x),
заданная на множестве X,
называется периодической,
если существует такое число L
( L
0),
что выполняются два условия:
1) ∀xX, x±LX;
2)∀xX; f(x±L)=f(x).
Число L называется периодом данной функции, а сама функция периодической.
Основные свойства периодических функций
1.
Если L-период
функции y=f(x),
то функция имеет бесконечное множество
периодов вида {kL},
k
Z
k
0
Другими словами, если L-период функции y=f(x), то числа: ±2L;±3L;…тоже периоды данной функции.
Действительно, пусть L-период функции y=f(x).
Покажем, что число 2L - тоже период этой функции.
∀xX, x±LXx±2LX
f(x+2L)=f((x+L)+L)=f(x+L)=f(x)
f(x+2L)=f(x)
Определение:
Наименьшее положительное число из множества всех периодов называется основным периодом, который мы будем обозначать Т.
Напомним основные периоды для тригонометрических функций:
-
y=sin x, T=2π (sin(x±2π)=sin x)
-
y=cosx, T=2π (cos(x
2π)=cos
x) -
y=tgx, T=π (tg(x
π)=tgx) -
y=ctgx, T=π (ctg(x
π)=ctgx)
При построении графика периодической функции можно сначала построить график на интервале длины T, а затем периодически продолжить график на всю числовую ось.
Замечание:
Если y=f(x)
– чётная, то строим график на интервале
[0;
]
Затем
чётным образом на интервале [-
;
0].
Аналогично
для нечётной функции, только на интервале
[-
;
0] – нечётное продолжение.
3.
Если функция y=f(x)
имеет период Т, то функция y=Аf(kx+b)+
B
имеет период
(А, В, k, b) – постоянные)
4. Если функция f1(x) имеет период Т1, функция f2(x) имеет период Т2, то функция y=Аf1(x)+ B f2(x) тоже периодическая с периодом T.
Для
нахождения T
используем соотношение: kТ1=nТ2
(k,n
N)
=
=
- несократимая дробь
Тогда,
Т=
Т1
(или
Т=
Т2
)
§2.Определение тригонометрических функций.
Рассмотрим окружность, заданную уравнением:
х2+у2=1; R=1.
(В дальнейшем будем называть эту окружность тригонометрической).
Пусть радиус-вектор
при повороте на угол 𝛂
против часовой стрелки перейдёт в
радиус-вектор
Пусть координаты точки М(х.; у).
у
М(х;у)
А
х
о
α
Определение: R=1
Ось (оу) называют осью синусов.
Определение:
R=1
Ось (ох) называют осью косинусов.
Таким
образом, точка М на тригонометрической
окружности имеет координаты М(
Замечание:
Аргументом синуса и косинуса является угол поворота 𝛂.
Если этот угол выражается в радианах, то значениями 𝛂 являются действительные числа.
Напомним, что радиан ( от лат radius) можно определить как центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу.
R
1рад.
10=
рад.≈0,017
рад.
1
рад.=
≈570
Определение:
tg
𝛂=
tg
𝛂=
Рассмотрим прямую х=1.
B
В
точка продолжения
tgα
A
M
x=1
с прямой х=1.
α
Тогда
=tg𝛂,
т.к. ОА=1
o
tgα=AB.
Прямая х=1 называется осью тангенсов.
Определение:
ctg
α=
ctgα=
Рассмотрим прямую у=1.
ctg α
C
B
y=1
x
0
M
α
Вточка
пересечения
с прямой у=1.
Тогда
=ctg𝛂,
т.к. ОС=1
ctg
𝛂=CB.
Прямая у=1 называется осью котангенсов.
§3.
Функция у=
.
Исследование:
-
D(f)=(-∞;+∞).
-
E(f)=[-1;1].
-
x=πk;
kZ. -
(нечётная
функция); график симметричен относительно
начала координат. -
Основной период
Т=2π;
.
Т.к. функция нечётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].
6.Если х возрастает от 0 доπ/2, то функция возрастает от 0 до 1.
Если х возрастает от π/2 до π, то функция убывает от 1до 0.
7.min
y=-1;
x=-π/2
+2πk;
kZ;
max y=1;
x=π/2
+2πk;
kZ.
График функции называется синусоидой.
у
1
π
-π
х
-1
Т=2π
§4.
Функция у=
.
-
D(f)=(-∞;+∞).
-
E(f)=[-1;1].
-
x=π/2+πk;
kZ. -
(чётная
функция); график симметричен относительно
оси ординат. -
Основной период
Т=2π;
.
Т.к. функция чётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].
6.Если х возрастает от 0 до π, то функция убывает от 1 до -1.
7.min
y=-1;
x=-π+2πk;
kZ;
max y=1;
x=2πk;
kZ.
График функции называется косинусоидой.
1
у
-π
π
-1
Т=2π
х
§5.Функция y=tg x.
Исследование:
y=tg
x
у=
.
-
D(f):
x≠π/2
+πk,
kZ.
Прямые х=π/2 +πк, кZвертикальные асимптоты.
-
E(f)=(-∞;+∞).
-
tgx=0
x=𝛑k;
kZ. -
tg(-x)=-tgxнечётная функция.
-
Периодическая, основной период Т=𝛑.
tg(x±𝛑)=tgx.