Раздел 8. Уравнение бернулли для потока реальной жидкости.

Реальная жидкость обладает вязкостью – свойством оказывать сопротивление сдвигу. На преодоление этого сопротивления затрачивается энергия, поэтому чтобы уравнение Бернулли было справедливо и для реальной жидкости, необходимо к энергии в сечении, лежащем ниже по течению добавить потерянную энергию:

, где

- потерянная энергия.

Кроме этого необходимо учитывать и то, что распределение скоростей по сечению для потока реальной жидкости отличается от распределения скоростей в идеальной жидкости, где скорость одинакова по всему сечению. В реальной жидкости скорость у стенок равна нулю, а в центре максимальна.

Поэтому в уравнении Бернулли фигурирует средняя по сечению скорость, определяемая как отношение расхода к площади поперечного сечения.

.

При дальнейшем изложении индекс “ср” в обозначении средней скорости будем опускать.

Коэффициент неравномерности поля скоростей характеризует отношение кинетической энергии при действительном распределении скоростей к кинетической энергии, рассчитанной по средней скорости.

Режим движения жидкости определяется значением числа Рейнольдса

или , где - кинематический коэффициент вязкости.

При режим течения ламинарный – слоистый без перемешивания жидкости, без пульсации скоростей и давлений.

При - режим течения турбулентный – с перемешиванием и с пульсацией скоростей и давлений.

В случае ламинарного режима максимальная скорость на оси струи вдвое больше средней скорости и коэффициент неравномерности поля скоростей .

Для турбулентного режима допустимо считать, что скорость не изменяется по сечению и можно принимать (в действительности при , при увеличении уменьшается; при ).

Различают два вида потерь напора – потери, распределенные по длине трубы и - потери, сосредоточенные в так называемых местных сопротивлениях, т.е. в местах, где происходит изменение формы и размеров русла.

Местные потери определяются по формуле Вейсбаха:

, где

- безразмерный коэффициент местного сопротивления;

- средняя скорость в трубопроводе за местным сопротивлением.

Численное значение для большинства местных сопротивлений определяется опытным путем и при турбулентном режиме течения не зависит от числа .

Потери при внезапном расширении определяются по формуле Борда-Карно и равны потерянному скоростному напору:

.

При истечении жидкости в атмосферу или в бак, когда потери равны скоростному напору в трубе .

Коэффициент потерь напора при внезапном сужении потока определяется по формуле Идельчика:

.

Значения коэффициентов местных сопротивлений в настоящем пособии даны в условии задачи.

Потери напора по длине определяются по формуле Дарси: , где -безразмерный коэффициент сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса и относительной шероховатости , где - высота бугорков шероховатости.

При ламинарном режиме течения коэффициент потерь - .

Удобнее для определения потерь при ламинарном режиме течения использовать формулу Пуазейля:

.

При турбулентном режиме, если и высота бугорков шероховатости не влияет на потери, наиболее часто употребляется формула Блазиуса

.

Универсальной формулой, учитывающей как влияние числа , так и относительной шероховатости , является формула Альтшуля

.

При малых значениях значение мало по сравнению с , и формула превращается в формулу Блазиуса:

;

при больших первое слагаемое становится пренебрежимо малым, и формула принимает вид:

.

При решении задач с использованием уравнения Бернулли записывать каждый раз уравнение в общем виде не будем. Примем условное обозначение 1-1—2-2 – уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2.

При решении задачи целесообразно переносить в одну сторону члены, содержащие скоростной напор, в другую – пьезометрические и нивелирные высоты.

Использовать при вычислениях можно любую систему единиц, но часто наименее громоздкие вычисления получаются при использовании системы СГС, где основные единицы см, грамм и секунда.

Если нет данных, достаточных для определения режима течения, то делаем предположение о режиме, а в конце решения проверяем это предположение.

З

адача 8.1

По длинной трубе диаметром протекает жидкость с коэффициентом кинематической вязкости и плотностью .

Определить расход жидкости и давление в сечении, где установлен пьезометр и трубка Пито .

Решение:

Разность показаний приемника полного и статического давлений есть скоростной напор

В этом можно убедиться, записав уравнение Бернулли для струйки, текущей по оси трубы до приемника полного давления и на его срезе, где скорость погашена до нуля.

или ,

откуда .

Найденная скорость соответствует максимальному по сечению значению.

Определим режим течения жидкости по числу Рейнольдса . Режим ламинарный, следовательно средняя по сечению скорость , .

Тогда расход .

Давление .

Ответ: .

Задача 8.2

При истечении воды из резервуара в атмосферу по горизонтальной трубе и длиной при , получено, что уровень в пьезометре, установленном на середине трубы .

Определить расход и коэффициент сопротивления трубы. Сопротивлением входа пренебречь. ().

Р

ешение:

В конце трубы давление атмосферное. Если на длине на преодоление сопротивления по длине было затрачено удельной энергии , то на всей длине потери составят .

1-1 -- 2-2 .

Предположим, что режим течения турбулентный, тогда ,

,

откуда .

Число Рейнольдса режим действительно турбулентный.

Расход .

, откуда.

Ответ: .

Задача 8.3

Жидкость с плотностью вытекает в атмосферу по трубопроводу, состоящему из труб длиной и и и и содержащему кран с коэффициентом сопротивления . Коэффициент сужения .

Определить показания манометра (в атм), если кинематический коэффициент вязкости .

Р

асход жидкости .

Решение:

1-1-:-2-2

Учитывая, что ,

( - скорость в трубе за местным сопротивлением);

;

.

Кроме искомого значения уравнение содержит еще 6 неизвестных .

Определим значения скоростей из уравнения расхода .

Определение режима течения:

- режим ламинарный,

- режим турбулентный.

При ламинарном режиме течения коэффициент , а коэффициент потерь по длине определяется по формуле .

.

При турбулентном режиме , а

О

твет: .

Задача 8.4

Чему должен быть равен коэффициент сопротивления крана , установленного на трубопроводе диаметром , чтобы расход воды составлял , если .

Избыточное давление воздуха в баке . Учесть потери на вход в трубу и на выход. Потерями по длине пренебречь.

Дано:

Решение:

Уравнение Бернулли для 2-х сечений.

.

В

ыбираем сечение 1-1 - свободную поверхность в сосуде и 2-2 - свободную поверхность в баке.

Плоскость отсчета проходит по оси трубы.

Для условия задачи уравнение Бернулли принимает вид:

, откуда

.

Скорость в трубе определяем из уравнения расхода:

;

.

Ответ: .

З

адача 8.5

Для определения потерь давления на фильтре установлены манометры, как показано на рисунке.

При пропускании через фильтр жидкости, расход которой , манометры показывали .

Определить, чему равна потеря давления и напора в фильтре и коэффициент местных потерь , если .

Потерями по длине пренебречь.

Р

ешение.

1-1---2-2

.

Определим режим течения жидкости во втором трубопроводе

.

Если в широком трубопроводе режим турбулентный, то и в узком тоже турбулентный, следовательно .

Из уравнения расхода имеем:

;

Ответ: .

З

адача 8.6

Из сосуда вода вытекает в атмосферу по трубе длиной и диаметром .

Уровень воды в сосуде повышается за счет притока из крана.

Определить напор , при котором течение в трубе сделается турбулентным.

Подсчитать изменение расхода при переходе к турбулентному режиму. Кинематический коэффициент вязкости воды (при ) , коэффициент потерь на входе в трубу .

Решение.

Запишем уравнение Бернулли для 2-х сечений – свободной поверхности в сосуде и сечения на выходе

Плоскость отсчета координаты - ось трубы.

Для условий задачи уравнение Бернулли принимает вид:

При числах режим течения ламинарный; при - турбулентный.

Критическое значение скорости , при котором режим течения может измениться, определится из условия .

Если считать, что изменение режима течения происходит при ,

.

При .

Если режим ламинарный, то .

При

и - минимальный уровень подъема воды составит:

.

При .

.

Переход от ламинарного режима к турбулентному может произойти в диапазоне .

Если режим изменился при критическом значении напора , скорость течения при турбулентном режиме может быть определена из уравнения:

;

при этом

При ;

.

Изменение расхода .

При ;

;

.

Ответ: Переход из ламинарного режима в турбулентный может произойти в диапазоне чисел Рейнольдса , при этом расход упадет в 0,8-0,745 раз.

З

адача 8.7

При внезапном расширении трубы разность показаний пьезометров .

При каком соотношении будет максимальным.

Выразить величину через скорость в узком сечении.

Р

ешение.

1-1---2-2

.

Считаем, что режим течения турбулентный и .

В этом случае для определения потерь при внезапном расширении справедлива формула Борда-Карно:

Учитывая, что , получим ;

, т.к. разность квадратов величин больше квадрата их разности.

То есть, во втором пьезометре уровень жидкости выше, чем в первом.

.

Из уравнения расхода имеем ;

или .

Величина будет максимальной при условии равенства нулю производной от выражения (полагаем, что ). Вспомнив, что , имеем , следовательно .

Ответ: .

З

адача 8.8

Нефть (), поступающая из напорного бака, обеспечивающего постоянный уровень жидкости и давление , через трубопровод диаметром и длиной 2 м с краном () заполняет емкость объемом 22,6 м³ за 10 часов.

К

аким должен быть коэффициент сопротивления крана, чтобы сократить вдвое время заполнения емкости.

Дано:

Решение.

Считаем, что уровень жидкости в баке и давление в нем не изменяются при изменении расхода

.

Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности в баке и сечении на выходе из трубы:

;

- коэффициент потерь на входе в трубу ().

Расход жидкости ;

;

- режим течения ламинарный;

следовательно:

.

После подстановки значений имеем:

.

Чтобы , надо удвоить расход ;

- режим турбулентный;

;

;

откуда: .

О

твет:.

Задача 8.9

Определить давление масла на входе в насос (в мм.рт.ст.) при горизонтальном полете самолета на высоте 16 км (), если длина всасывающего трубопровода , диаметр .

Превышение уровня масла в баке над насосом , давление в баке равно атмосферному, расход масла , кинематический коэффициент вязкости , плотность . Потери в местных сопротивлениях не учитывать.

Ответ: масляного столба .

З

адача 8.10

Определить скорость истечения воды из брандспойта с диаметром , установленного на конце шланга диаметром и длиной . Избыточное давление воздуха в напорном баке , высота .

Учесть потери на входе в трубу , в вентиле , на трение в шланге и в брандспойте .

Ответ: .

З

адача 8.11

Насос засасывает масло из бака и нагнетает его в двигатель.

Всасывающий трубопровод представляет гибкий шланг диаметром и длиной .

Вследствие прогрева масла число Рейнольдса достигло критического значения (пониженное значение объясняется волнистостью внутренней поверхности трубопровода. Определить, на сколько изменится давление масла перед входом в насос вследствие изменения режима течения.

Скорость масла считать неизменной и равной . Коэффициент потерь при турбулентном режиме течения принять равным .

Ответ:

При ламинарном режиме

При турбулентном режиме

.

З

адача 8.12

Вода из бака вытекает в атмосферу по трубе длиной и диаметром .

Разность уровней в пьезометрах .

Определить расход жидкости и коэффициент сопротивления трубы . Сопротивлением входа пренебречь. ().

Ответ: .

Задача 8.13

Какое давление необходимо для подачи воды при температуре , () по горизонтальной трубе диаметром на расстояние с расходом .

Труба гладкая, местные сопротивления отсутствуют.

Ответ: 1,54 МПа.

Задача 8.14

По трубопроводу, не содержащему местных сопротивлений, течет вязкая жидкость при ламинарном режиме движения. Как изменятся потери напора, если расход снизится в 2 раза?

Ответ: Потери снизятся в 2 раза.

Задача 8.15

По трубе () течет бензин () с расходом .

Можно ли, не вычисляя потери напора, определить, во сколько раз они увеличатся при возрастании расхода в 1,5 раза.

Ответ: Можно – в 2,25 раза.

Задача 8.16

Разность давлений в начале и конце одного из участков горизонтального бензопровода диаметром и длиной l=50 м составляет , а на другом участке () перекрывается краном таким образом, что перепад давлений составляет . Плотность бензина .

Определить коэффициент местного сопротивления крана при расходе .

Ответ: .