3. Описание лабораторной установки

3.1. Вращательное движение в данной работе изучается с помощью крестообразного маховика, называемого маятником Обербека, изображенного на рис. 2. Он состоит из четырех стержней и двух шкивов различного радиуса r₁ и r₂, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться с помощью винтов в нужном положении четыре цилиндра одинаковой массы m_ц. На один из шкивов наматывается нить с грузом m на свободном конце.

3.2. На груз m действует сила тяжести mg, натяжение нити T и сила сопротивления воздуха, которой можно пренебречь. Уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, имеет вид

mа = mg - T. (7)

3. При движении груза m момент силы натяжения нити относительно горизонтальной оси Z, равный M_z = rT, приводит маховик во вращение. Используя разные шкивы и грузы, можно изменять момент силы натяжения нити. Момент силы трения в оси благодаря применению подшипников и смазки мал, и им можно пренебречь. Уравнение моментов для маятника примет вид

J  = rT. (8)

4. m_ц

   

   Т

   

   

   r₂

   Угловое ускорение маховика , если считать, что растяжение нити пренебрежимо мало и нить не проскальзывает по шкиву, связано с линейным ускорением a груза m

a =  r. (9)

5. Ускорение груза может быть определено экспериментально по известной высоте h, с которой опускается груз, и времени его движения t

(10)

6. Решая систему уравнений (7), (8), (9), (10), можем определить значение момента инерции маятника

. (11)

3.7. В лабораторной установке высота h  1 м, время t  10 c, поэтому значение и в формуле (12) можно пренебречь вторым слагаемым в скобках и провести вычисления момента инерции по приближенной формуле

. (12)

4. Порядок измерений

4.1. Внести данные о лабораторной установке в табл. 1.

Таблица 1

Приборы	Пределы измерений	Цена деления	Приборная погрешность
Линейка
Секундомер

2. Закрепить с помощью зажимных винтов цилиндры на концах стержней. Расстояние между центрами цилиндров, находящихся на противоположных концах стержней, 2L₁ указано на установке. Значения 2L₁, радиуса бóльшего шкива r, массы груза m, массы каждого цилиндра m_ц занести в табл. 2.

r = (  ) м; m = (  ) кг; h = (  ) м; m_ц = (  ) кг;

2L₁ = (  ) м; 2L₂ = (  ) м. Таблица 2

№ п/п	ti1, c	ti1=t1-ti1,с		ti12, c2	ti2, c		ti2=t2-ti2,с		ti22, c2
1
2
3
4
5
			ti12 =					ti22 =

3. Подвесить груз к нити. Слегка натягивая, намотать нить в один слой на бóльший шкив. Придерживая крестовину, измерить масштабной линейкой, приклеенной к стене, начальную высоту груза над полом h и занести ее величину в табл. 2.

2. Отпустить крестовину и включить секундомер в момент начала вращения маятника. Остановить секундомер при ударе груза об пол. Значение времени t₁ занести в табл. 2.

3. Повторить измерение времени движения груза с одной и той же высоты еще 4 раза и занести результаты в табл. 2.

4. Закрепить цилиндры с помощью зажимных винтов на минимальном расстоянии от оси вращения. Расстояние между центрами цилиндров 2L₂ занести в правую половину табл. 2.

5. Провести измерения времени движения t₂ при новом положении цилиндров на стержнях 5 раз и занести результаты в правую половину табл. 2.

5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

5.1. Определить средние значения времени движения груза и . Полученные значения занести в табл. 2.

5.2. Используя данные табл. 2 и формулу (12), рассчитать моменты инерции маятника с цилиндрами

(кгм²); (кгм²).

5.3. Рассчитать абсолютные погрешности измерений времени их квадраты t_i ² и средние квадратичные погрешности

4. Определить абсолютные случайные погрешности

t_сл1 = S_t1 _(n ) = ; t_сл2 = S_t2 _(n ) = .

Коэффициент Стьюдента _(n) при  = 0,9 и n = 5 взять из таблицы, вывешенной в лаборатории.

5. Сравнить значения приборной и случайной погрешностей t_приб и t_сл. Если они существенно (на порядок) различаются, то учесть бóльшую из них; если они одного порядка, то абсолютная ошибка измерения времени равна их сумме

t = t_приб + t_сл.

Округлить абсолютную ошибку до одной значащей цифры.

6. Рассчитать относительную погрешность в определении моментов инерции для двух случаев расположения цилиндров по формуле

(15)

подставляя в нее приборные погрешности для величин m, r, h, указанные на установке, и рассчитанные в пункте 5.5 значения t₁ и t₂. Округлить относительные погрешности ₁ и ₂ до двух значащих цифр.

7. По полученным значениям ₁ и ₂ рассчитать величины абсолютных ошибок J₁ и J₂ в определении момента инерции

J₁ = ₁J₁ = и J₂ = ₂J₂ = .

Округлить J₁ и J₂ до одной значащей цифры, а значения J₁ и J₂ до разряда их абсолютных ошибок.

5.8. Записать результаты расчетов для обоих случаев в виде

J = ( J  J) кгм².

9. Сравнить значения J₁ и J₂ и обосновать их различие.

1. Убедиться в справедливости теоремы Гюйгенса (Штейнера)

J₁ = J _{маятника} + 4 J ₀ + 4 m _ц L₁²;

J₂ = J _{маятника} + 4 J ₀ + 4 m _ц L₂²;

J₁ - J ₂ = 4 m _ц (L₁²-L₂²),

где J ₀ - момент инерции каждого из цилиндров относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси маятника.

6. КОМПЛЕКТЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

I КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение вращательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов обруча, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите ускорение его центра масс.

3. Рассчитайте момент инерции сплошного цилиндра массой m, радиусом r относительно оси симметрии цилиндра.

II КОМПЛЕКТ

1. Назовите кинематические характеристики вращательного движения, их определения, единицы измерения, связь с аналогичными характеристиками поступательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов диска массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите величину силы трения сцепления диска с поверхностью наклонной плоскости.

3. Рассчитайте момент инерции стержня массой m, длиной L относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его конец.

III КОМПЛЕКТ

1. Назовите динамические параметры вращательного движения, их определения, единицы измерения, связь с аналогичными параметрами поступательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов шара, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите ускорение его центра масс.

3. Приведите расчет момента инерции обруча массой m, радиусом r относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его край.

IV КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение момента силы, назовите единицы его измерения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов обруча массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите величину силы трения сцепления обруча с поверхностью наклонной плоскости.

3. Рассчитайте момент инерции стержня массой m, длиной L относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс.

V КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение осевого момента инерции, приведите примеры его значений для различных тел.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов для цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите ускорение его центра масс.

3. Рассчитайте момент инерции шара массой m, радиусом r относительно оси, проходящей через его центр масс.

VI КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение главных, центральных главных и свободных oсей инерции тела. В каких случаях вращение тела устойчиво?

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов для шара массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом . Определите величину силы трения сцепления шара с поверхностью наклонной плоскости.

3. Сформулируйте теорему Гюйгенса (Штейнера). Рассчитайте момент инерции диска массой m, радиусом r относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его край.

Литература

1. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев.-М.: Астрель; АСТ. Кн.1: Механика, 2001.

2. Матвеев, А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев - М.: Высшая школа, 1986.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Общее вращательное движение – движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 0 (например, движение гироскопа, закрепленного в кардановом подвесе). Каждая из точек тела перемещается по поверхности сферы с центром в точке 0. Вращательное движение тела вокруг точки слагается из серии элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. Мгновенная ось вращения непрерывно изменяет свое положение как по отношению к системе отсчета, в которой рассматривается движение тела, так и в самом теле. Тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы, и его положение по отношению к данной системе отсчета определяется тремя параметрами, например углами Эйлера  - угол собственного вращения,  - угол прецессии,  - угол нутации. Закон движения задается уравнениями  = (t);  = (t);  =(t).

При вращении тела вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора мгновенной угловой скорости по времени

Момент инерции является мерой инертности тела при общем вращательном движении, он зависит от распределения масс в теле и расположения оси вращения. Осевые моменты инерции тела относительно точки 0 определяются формулами

J_xx =  m_i (r_i²-x_i²), J_yy =  m_i (r_i²-y_i²), J_zz =  m_i (r_i²-z_i²), (13)

где m_i – массы материальных точек, на которые разбивается тело, r_i, x_i,y_i, z_i – их радиусы-векторы и координаты. Центробежными моментами инерции называются величины, определяемые формулами

J_xy = J_yx = – m_ix_iy_i , J_yz = J_zy = – m_iy_iz_i , J_zx= J_xz = – m_iz_ix_i . (14)

Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси Z от значений J_xz и J_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

Зная шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_zx, можно вычислить всю совокупность моментов инерции тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют тензор инерции тела

.

Через каждую точку тела можно провести три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых центробежные моменты инерции равны нулю: J_xy = J_yz = J_zx = 0. Тензор инерции в этих осях приобретает диагональный вид

.

Величины J_x , J_y , J_z называют главными осевыми моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции. Если твердое тело приведено во вращение вокруг оси, которая в данной точке является главной осью инерции, то тело при отсутствии внешних сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Свободное вращение твердого тела возможно лишь вокруг центральных главных осей. Центральные главные оси инерции тела называются свободными осями. Моменты инерции относительно этих осей, вообще говоря, различны. Вращение тела будет устойчивым только относительно центральной главной оси с максимальным или минимальным моментом инерции. Вращение вокруг центральной главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие это отклонение.

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике.

Автор описания доц. И.А. Авенариус.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 4-М

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

НА ЭЛЕКТРИФИЦИРОВАННОМ ПРИБОРЕ ОБЕРБЕКА