Решение задач

3.1. Тело массы m движется по горизонтальной плоскости под действием силы , направленной под углом к горизонту. Начальная скорость равна нулю. Найти:

а) ускорение тела, если коэффициент трения между телом и плоскостью равен ,

б) величину силы, при которой движение будет равномерным,

в) угол , при котором сила будет минимальна при равномерном движении, а так же величину этой силы.

Решение. а) Покажем силы, действующие на тело. На тело действуют четыре силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры , сила трения и сила .

Направим ось X в горизонтальном направлении по направлению движения тела, а ось Y - вертикально вверх (рис.20). Запишем основной закон динамики в проекциях на эти оси:

,

.

,

так как вдоль оси Y тело не движется. Учитывая, что модуль силы трения скольжения равен , решим полученную систему уравнений и найдем ускорение тела:

.

б) Движение будет равномерным при , то есть

.

Отсюда

.

в) Чтобы найти угол , при котором сила будет минимальна, необходимо продифференцировать полученное выражение для силы по углу и, приравняв полученное выражение к нулю, выразить из него искомый угол:

,

.

Учитывая, что , получим

.

Подставив полученное значение угла в выражение для величины силы с учетом соотношения , найдем ее минимальное значение:

.

Теперь усложним задачу и решим ее для случая, когда сила, действующая на тело - переменная.

3.2*. На тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени как , где k - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом. Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Р ешение. а) Расставим силы, действующие на тело. На тело действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и переменная сила .

Направим ось X в горизонтальном направлении по направлению движения тела, а ось Y - вертикально вверх (рис.21).

Запишем уравнение движения тела в проекциях на оси X и Y, учитывая что :

, (1)

. (2)

Введем – момент отрыва, тогда уравнения (1) и (2) будут справедливы при . В момент отрыва N=0, поэтому, подставив в уравнение (2), найдем время отрыва тела от поверхности:

.

Разделив переменные, приведем уравнение (1) к виду удобному для интегрирования

.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от 0 до , а правую от 0 до t, найдем зависимость

.

Подставив в последнее выражение время отрыва тела , найдем скорость тела в момент отрыва

.

б) Путь S , пройденный телом за время t, равен

.

Проведя интегрирование, получим

.

Подставив в последнее выражение время отрыва тела , найдем путь тела, пройденный до отрыва

.

3.3. Частица движется вдоль оси x по закону , где и - положительные постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна . Найти значения силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке x=0.

Решение. Основное уравнение динамики движения материальной точки (второй закон Ньютона) в проекциях на ось X имеет вид:

.

Найдем , воспользовавшись определением:

,

тогда:

.

Найдем массу m из начальных условий:

,

.

Найдем моменты времени, когда частица находится в точках поворота. В точках поворота первая производная по времени равна 0 :

,

.

Данное уравнение имеет два корня , который соответствует моменту поворота, и , который соответствует начальному состоянию движения. Подставляя найденные значения m и t в исходное уравнение, получим значение силы в точке поворота:

.

Определим моменты времени, когда частица опять окажется в точке x=0:

,

.

Данное уравнение имеет два корня и , который соответствует начальному состоянию движения.

Подставляя найденные значения m и t в исходное уравнение, получим значение силы в момент, когда частица опять окажется в точке x=0:

.

3.4. В момент t=0 частица массы m начинает двигаться под действием силы , где и - постоянные. Найти:

а) сколько времени частица будет двигаться до первой остановки,

б) какой путь она пройдет за это время.

Решение. Скорость частицы и пройденный ею путь определяются следующими формулами:

и .

Ускорение найдем из уравнения движения частицы (второй закон Ньютона):

.

тогда из условия задачи

.

Направим ось X вдоль , тогда последнее уравнение в проекциях на эту ось примет вид

.

По определению

.

В момент остановки , поэтому:

, при .

Найдем, сколько времени частица будет двигаться до первой остановки ():

.

Тогда путь, который частица пройдет за это время будет равен:

.

Проведя интегрирование, получим:

.

3.5. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема оказалось в раза меньше времени спуска.

Решение. Проанализируем силы, действующие на тело. На брусок действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения (рис.22).

Направим ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y – перпендикулярно плоскости вверх.

Рассмотрим движение бруска вверх. Запишем основной закон динамики в проекциях на оси X и Y соответственно:

,

.

Учитывая, что , найдем ускорение тела во время подъема:

. (1)

Рассмотрим движение бруска вниз. Составим уравнение движения в проекциях на оси X и Y соответственно, принимая во внимание, что сила трения будет направлена в противоположную сторону

,

.

Тогда ускорение тела во время спуска будет равно:

. (2)

Найдем связь между временем и ускорением спуска и подъема. Движение тела описывается кинематическими уравнениями

,

.

С учетом того, что в момент остановки тела при его подъеме вверх , и , последние два уравнения примут вид

,

.

Откуда . Так как и при подъеме и при спуске тело прошло одно и тоже расстояние, то соответствующие значения времени и ускорения связаны соотношениями

. (3)

Решая систему из уравнений (1), (2) и (3), получим выражение для коэффициента трения

.

Теперь усложним задачу и рассмотрим случай, когда сила трения, действующая на тело, – переменная, то есть зависит от пройденного пути.

3.6*. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону , где - постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на брусок при его движении вниз. На брусок действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения (рис.23).

Н аправим ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y - перпендикулярно плоскости вверх. Запишем основной закон динамики в проекциях на оси X и Y соответственно:

,

.

Учитывая, что , запишем уравнение движения тела:

,

.

По определению , откуда , поэтому, произведя замену переменных, получим:

.

Разделим переменные

,

и проинтегрировав левую часть этого выражения от до (скорость бруска в момент остановки равна нулю ), а правую от до , найдем путь, пройденный бруском до остановки:

,

,

,

где координата x равна пройденному пути.

3.7. На горизонтальной плоскости расположены два связанных друг с другом нитями тела массами m₁ и m₂. На нити, прикрепленной к телу массой m₂ и перекинутой через неподвижный блок, подвешено тело массой m₀. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Найти ускорение, с которым опускается тело массой m₀ , и силу натяжения нити, связывающей тела m₁ и m₂, если коэффициент трения между горизонтальной плоскостью и телами m₁ и m₂ равен .

Р ешение. Покажем силы, действующие на тела при движении тела массой m₀ вниз (рис.24). Направим ось Y в направлении движения тела массой m₀, а ось X – перпендикулярно ей по горизонтали влево. Поскольку тела связаны невесомыми и нерастяжимыми нитями, то модули сил натяжения для каждой нити равны между собой и все тела движутся с одинаковым по модулю ускорением:

и ,

,

.

Учитывая это, запишем уравнения движения для каждого бруска в проекциях на оси X и Y:

, , .

, , .

.

Решим полученную систему уравнений и найдем ускорение, с которым опускается тело массой m₀:

.

Тогда, сила натяжения нити, связывающей тела m₁ и m₂ равна

Теперь рассмотрим динамику материальной точки, движущейся по окружности. В этом случае одну ось направляют вдоль тангенциального ускорения, то есть по касательной к траектории, другую - вдоль нормального ускорения.

3.8. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости. Найти ускорение шарика в крайней точке, если угол отклонения нити от вертикали равен .

Р ешение. Шарик движется неравномерно по окружности, радиус которой равен длине нити l. На шарик действуют сила натяжения нити и сила тяжести (рис.25).

Согласно второму закону Ньютона

.

При неравномерном движении по окружности полное ускорение равно

,

где - центростремительное (нормальное) ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру, - касательное (тангенциальное) ускорение, совпадающее по направлению с направлением скорости.

Направим орт из точки 1 вдоль нити к центру окружности, а орт - перпендикулярно орту . В верхней точке 1 скорость шарика равна нулю, следовательно, его центростремительное ускорение также равно нулю . Это означает, что полное ускорение шарика в точке 1 будет определяться только его тангенциальным ускорением . Найдем полное ускорение шарика, воспользовавшись уравнением движения в проекциях на орт :

.

Ускорение шарика в крайней точке равно

.

3.9. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом R. В верхней точке его скорость равна . В кабине находится человек, масса которого равна m. Найти силу, прижимающую человека к сидению в верхней точке траектории.

Р ешение. По условию скорость самолета в верней точки траектории равна . В этой точке сила, действующая на человека складывается из направленных вниз силы тяжести и силы реакции опоры, действующей на человека со стороны сиденья (рис. 26). Направим ось n к центру траектории и запишем уравнение движения в проекциях на эту ось

,

где - ускорение летчика в верхней точке траектории.

Сила, прижимающая человека к сиденью (по определению это вес человека), определим по третьему закону Ньютона. Она равна по величине силе , но противоположно ей направлена (рис.26)

.

Поэтому величина этой силы равна

.

Если , то человек испытывает «невесомость».

3.10. Для подготовки летчиков-космонавтов к перегрузкам применяют специальные центрифуги. При какой частоте вращения центрифуги радиуса R спинка сиденья давит на летчика с такой же силой, которая возникает при подъеме ракеты с ускорением .

Решение. На тело в ракете, движущейся вертикально вверх с ускорением , действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила , направленная вертикально вверх со стороны сиденья (рис.27). Запишем уравнение движения в проекциях на ось Y, положительное направление которой совпадает с направлением ускорения

,

откуда

.

При движении центрифуги сила, с которой спинка сиденья давит на летчика, сообщает ему центростремительное ускорение , где - угловая скорость вращения центрифуги. Запишем уравнение движения в проекциях на ось X (рис.28):

.

Выразим угловую скорость через частоту вращения

и, решив совместно последние три уравнения, получим частоту вращения центрифуги

.