2.6 Матричний запис нормальної системи рівнянь і її розв’язок у матричному вигляді

Запишемо статистичні дані в матричній формі у вигляді:

Позначимо

Тоді

Нормальна система рівнянь має вигляд

(2.27)

Тоді матричний запис нормальної системи рівнянь

(2.28)

Оскільки

, то - існує.

Тоді система (2.28) має рішення і

2.7 Дослідження рівнянь регресії

Нехай для лінійної моделі

1) li – випадково розподілена величина, має нормальний закон розподілу з параметрами M(l_i)=0, D(l_i)=;

2) М (li; lj)  0, якщо i  j;

3) M(yi)=аX_i+b, D(yi)= , Xi – невипадкові величини, ,

Стандартне відхилення коефіцієнта регресії а і його інтервал надійності.

(2.29)

Оскільки

то

(2.30)

(2.31)

(2.32)

Тоді довірчий інтервал для істинного

, (2.33)

де

(2.34)

- табличне значення розподілу Стьюдента для α=1-Р, k=n-2

Аналогічно знайдено довірчий інтервал для істинного значення а

, (2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Довірчий інтервал для істинного значення в

(2.40)

де

(2.41)

S_y (2.42)

2.8 Властивості оцінок (оцінок коефіцієнтів рівняння регресії)

Оцінка параметра а називається незміщеною, якщо .

Аналогічно для оцінки параметра

Оцінки , знайдені по методу найменших квадратів (МНК).

Можна шукати оцінки , іншими методами [2].

Оцінка параметра називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед всіх оцінок.

Теорема Гаусса-Маркова

Нехай виконуються гіпотези:

1. .

2. Xi – невипадкові величини;

3. М(li)=0, li – випадкові величини,

D(li)=²

4. М(li lj)=0, якщо i  j, тобто помилки некорельовані

li розподілені за нормальним законом з параметрами (0; ²)

Тоді , , одержані по МНК, є ефективними в класі всіх лінійних незміщених оцінок.

Можна показати, що , одержані за МНК, є спроможними.

Оцінка параметра є спроможною, якщо  Е) 1

∆а  Е, Е  0.

2.10 Коефіцієнт еластичності

В економічних задачах для оцінки впливу на показник будь-якого фактора часто використовують коефіцієнт еластичності. У загальній статистиці коефіцієнт еластичності одержують на основі статистичного ряду. Припустимо, що маємо статистичний ряд з балансовими даними показника і фактора. Коефіцієнт еластичності для значення фактора знаходять за формулою:

(2.44)

де,

Якщо між факторами і показниками знайдена стохастична залежність, то коефіцієнт еластичності для значення фактора аналогічно можна знайти за формулою:

(2.45)

Якщо зробити граничний перехід при , то одержимо формулу для точкової оцінки коефіцієнта еластичності:

(2.46)

Коефіцієнт еластичності показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсоток. Для парної лінійної регресії Y=aX+b коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою:

(2.47)