10.8. Варианты заданий

1. Скорость укорочения мышцы описывается уравнением

где х₀ —полное укорочение мышцы; В — постоянная зависящая от грузки; х — укорочение мышцы в данный момент. Найти закон сокращения мышцы, если в момент времен t=0 величина укорочении мыший была равна 0.

2. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая то часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количество света, поглощенного при прохождении через топкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность.

3. Если первоначально количество фермента равно 1 г, а через 1 ч становятся равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 ч после начала брожения? Скорость прироста фермента считать пропорциональной его наличному количеству.

4. Скорости ферментативных каталитических реакций иногда подсчитываются следующему уравнению:

где х- концентрация продукта в момент времени t: a - начальная концентрация реагента. Найти закон зависимости изменения концентрации продукта от времени.

5. Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Известно, что по истечении 1 ч в организме осталось 31,4 г лекарственного вещества, а по истечении 3 ч – 9,7 г. Определить:

1. сколько лекарственного вещества было введено в организм:

2. через сколько времени после введения в организме останется 1% первоначального количества.

6. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?

7. Определить период полураспада радия и радона, если постоянные распада данных веществ соответственно равны 1,354·10^-11с^-1 и 2,1·10^-6с^-1.

8. Сколько ядер радиоактивного йода ₅₃I¹³¹ из каждого миллиарда распадается в 1 с. если период, полураспада ₅₃I¹³¹ равен 8 суткам?

9. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, при первом изменении зарегистрировал 5200 (β-частиц в минуту, а через сутки — только 300. Определить период полураспада изотопа.

10. Имеется 1000 относительных единиц радона. Сколько действующих единиц радона останется спустя 1 ч? Постоянная распада радона λ=2,1·10^-6с^-1

11. Определять, какая доля ядер ₈₀Bi²¹⁰ распадается за 1 ч, если постоянная распада ₈₀Bi²¹⁰ λ= 1,61·10^-6с^-1

10.9. Контрольные вопросы

1. Дайте определение дифференциального уравнения. Математическая запись ДУ. Примеры представления ДУ.

2. Что такое порядок ДУ? Приведите примеры записи ДУ различных порядков.

3. Дайте определение решения (интеграла) ДУ, общего решения, частного решения, начальных условий.

4. В чем состоит задача Коши?

5. В чем заключается интегрирование ДУ?

6. Что такое интегральная кривая? Чем отличаются графически общее решение ДУ и частное решение ДУ?

7. Дайте определение и приведите примеры ДУ с разделяющимися переменными.

8. Что такое однородная функция степени n?

9. Дайте определение и приведите примеры однородного ДУ.

10. Дайте определение линейного ДУ 1-го порядка.

11. Перечислите и объясните суть методов решений ЛНДУ 1-го порядка.

12. Приведите примеры применения дифференциальных уравнений в биологии и медицине.