Параграф 3: функция

Опр. 1: Переменная величина называется функцией аргумента , если каждому рассматриваему значению из некоторого множества соответствует определённое значение из множества .

– Область определения функции. – область значения функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ. (Т. е. По формуле.)

2. Табличный.

3. Графический.

4. Программа (алгоритм).

Все способы могут использоваться совместно.

Классификация функций

1. Явные и неявные функции.

А) Функция называется неявной, если она задана уравнением , не решенным относительно .

В) Функция называется явной, если она задана уравнением решенным относительно .

2. Периодическая функция, если существует число называемое периодом, обладает свойством:

Функции делятся на АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ и ТРАНСЦИНДЕНТНЫЕ

Алгебраическая функция – когда она задана уравнением , где с лева стоит многочлен с переменными и (неявная а. ф.).

Функция называется явной алгебраической, если для получения её значения над аргументом производится конечное число арифметических действия и действий извлекания корня натуральной степени.

ПРИМЕР:

Все остальные функции относятся к трансцендентным – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные, степенные с иррациональным показателем.

Опр. 2: Функция называется четной, если при , то на и выполняется:

,.

.

.

График четной функции симметричен OY

Опр. 3: Функция называется нечетной, если при , то на и выполняется:

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Опр. 4: Две точки называются симметричными относительно начала, если они лежат на одной прямой, проходящей через начало, по разные стороны от начала и на одинаковом расстоянии от начала.

Существуют такие функции которые не являются ни чётными ни нечётными.

Функции делятся на элементарные и неэлементарные.

Основные элементарные функции:

1.

2. Степенная:

Для отрицательных значений и для значения некоторой функции отрицательны, а некоторой нет.

, D (f) = [0;+∞].

, D (f) = [0;+∞].

, D (f) = R \ (0) (вся ось, кроме нуля).

, D (f) = R.

3. Показательная: y = a^x, a > 0, .

4. Логарифмические: , , .

5. Тригонометрические

-1

6. Обратные тригонометрические. y = arccos x, y = arcctg x, y = arcsin x, y = arcctg x.

Определение сложной функции. y = f(x)

X – область определения функции.

Y – область значения функции.

Z = (y) – отображаются в области Z.

Z = [f (x)] – сложная функция, иначе композиция.

Сложная функция состоит из цепочки двух простых.

Опр. 5: Элементарной функцией называется функция, состоящая из основных элементарных функций с помощью какого-либо числа арифметических операций и конечного числа образующих операций функции от функции.

Кроме того, требуется, чтобы эта функция была задана одним аналитическим выражением.

Неэлементарные функции – операции интегрирования, операции решения дифференциального уравнения, операции суммирования с бесконечным числом слагаемых и операции обратной функции с помощью нескольких аналитических изображений.

ПАРАГРАФ 4: ЛЕММЫ О ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ.

Модуль X есть расстояние точки X до начала.

Из формулы (1) следует:

ЛЕММА №1:

Неравенство равносильно:

Доказательство:

Если выполнено (3), то это означает, что точка X находится от начала на расстоянии, не превышающем a, и это означает, что она находится между -a и a, тогда выполнено равенство (4).

Обратно:

Пусть выполнено (4), т. к. X находится между -a и a, то тогда её расстояние до начала |X| не превышает a, следовательно выполнено неравенство (3), ч.т.д.

ЛЕММА №2:

Модуль суммы конечного числа не превосходит суммы их модулей.

используем (2):

по лемме (1) это двойное неравенство равносильно одному неравенству с модулем:

ЛЕММА №3:

Модуль разности двух чисел не меньше разности их модулей.

Доказательство:

X – Y = Z, тогда X = Y + Z.

Замечание:

Можно доказать более сложное неравенство:

ЛЕММА №4:

Из определения действий умножения, деления вещественных чисел следует соотношение: