Формулы гиперболической тригонометрии.

Для гиперболической функции существует система формул, составляющих так называемую гиперболическую тригонометрию.

Основное гиперболическое тождество:

Доказательство:

и.т.д.

Распространение формулы (7) для второго замечательного предела на любое значение аргумента. Способ стремления аргумента к бесконечности.

Доказательство:

Для любого значения найдется такое натуральное ,что будет выполняться неравенство:

Будем пользоваться свойствами степенной и показательной функции.

Примем теорему о сжатой переменной…ч.т.д.

Доказательство:

Ч.Т.Д.

Формулы (11) и (12) записываются в виде однообразной формулы.

Параграф 14: взаимные пределы, основанные на втором замечательном пределе.

1.

Рассмотрим:

О непрерывности логарифмической функции. Знак предела и логарифма можно поменять местами.

2. Частный:

3.

получили по формуле (1).

4.

5.

Параграф 15: сравнение бесконечно маленьких.

– бесконечно малые.

Этот предел отношения может быть различным в зависимости от быстроты стремления бесконечно малой к нулю.

Определения:

1. Если , то – бесконечно малое высшего порядка, чем (по опр.).

2. Если , то – бесконечно малое низшего порядка, чем .

3. Если , то – бесконечно малые одного порядка малой степени.

4. Если , то – называются эквивалентными бесконечно малыми величинами. Запись: ~ – эквивалентно .

5. Если не существует, то – не сравнимо малые величины.

Примеры:

1. .

2. .

3. и – одного порядка …

4. – бесконечно малое высшего порядка чем .

5. .

, не имеет предела при .

– не сравнимые бесконечно малые величины.

Часто удобно одну из бесконечно малых взять за основную и с ней сравнивать все остальные бесконечно малые

или – часто означают переменные.

Опр. 6 Бесконечно малое , называется низшего порядка по отношению к бесконечно малому , если

.

Пример: ; бесконечно малое – . 1.

– высшего порядка, чем .

Какого же порядка ??? 2. .

– имеет 2-й порядок по отношению к . 3. .

Следовательно бесконечно малое – , имеет 3-й порядок малости по отношению к .

Теорема 1:

Для того чтобы бесконечно малые – и были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой высшего порядка, чем каждая из них в отдельности.

Доказательство:

Необходимость:

Дано:

Требуется доказать:

ч.т.д.

Достаточность:

Дано:

Требуется доказать:

ч.т.д.

1)

2)

ТЕОРЕМА 2:

При вычислении предела отношений или производной бесконечно малого, каждую из них можно заменить эквивалентной.

Пусть: , тогда .

Доказательство:

Рассмотрим , ч.т.д.

Пример:

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Обобщение теоремы 2

Опр. 7: Две функции и , называются эквивалентными при , если

Запись та же самая:

Теорема 2 о эквивалентных бесконечно малых распространяется на случай любых эквивалентных функций.

Формулировка: Если при , то:

С помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых раскрываются различные виды неопределенностей:

1.

2.

3.

Опр. 8: Если бесконечно малая имеет более высокий порядок, чем бесконечно малая , то принимается запись: .

Формулы для :

1.

2.

3.

4.

5.

Опр. 8: Если , то бесконечно малая называется главной частью бесконечно малого . Т. к. , поэтому . Каждая из двух этих бесконечно малых является главной частью другой.

Если выполняется то – главная часть .

Таблица эквивалентных бесконечно малых может быть записана в другой форме с использованием символа порядка.

Формула типа называется асимптот. формулой.

Таблица асимптот. Формул:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Тезисы:

1. Аналогично сравнению бесконечно малых происходит сравнение бесконечно больших.

2. Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малому наинизшего порядка.

– бесконечно малая величина.

Следовательно: .

3. Сумма бесконечно больших эквивалентна бесконечно большому наивысшего порядка роста.

– бесконечно большая величина.

Типовые задачи по вычислению пределов.

1. При вычислении предела отношения и производной бесконечно малой следует пользоваться таблицей бесконечно малых. Каждую бесконечно малую заменяем более простой эквивалентной бесконечно малой…

2. При вычислении предела с бесконечно малой, в которой встречаются сумма и разность, следует пользоваться таблицей асимптотических формул.

3. При раскрытии неопределённости показателя всегда следует прологарифмировать показательное выражение.

ПАРАГРАФ 1: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Понятие о непрерывности функции описывает непрерывные процессы в округе… Непрерывные функции описывают непрерывные процессы.

Будем обозначать: – приращение аргумента.

– приращение функции.

Опр. 1: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции

Под окрестностью точки понимают любую – окрестность этой точки.

Запишем на языке – окрестностей, используя определение предела функции.

Опр. 2: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и по любому можно указать , то при выполнении: следует:

Запишем формулу ещё в другом виде:

позволяет сформулировать следующее определение, равносильное предыдущему.

Опр. 3: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и предел функции равен функции предельного значения аргумента.

Для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами. Запишем уравнение , употребляя пределы с лева и с права. Заметим, что если существует двусторонний предел, то существует оба односторонних предела и они равны между собой, поэтому может быть записана в следующей эквивалентной форме:

Опр. 4:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , существуют конечные пределы с лева и с права и выполняется равенство: .

Пределы с лева и справа равны между собой и равны значению функции в точке.

Опр. 5: Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

ПАРАГРАФ 2: ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ.

Опр. 1: Точка называется точкой разрыва функции , если нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции; используем опр. 4:

Нарушение: – Условие:

1.

Функция определена в точках, где обращается в ноль.

Эта функция разрывна во всех точках области определения функции, т. к. эти точки изолированы без окрестности.

2. Если пределы с лева и с права не являются конечными