4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій

Теорема 4.1.2 Границя послідовності вимірних функцій , що збігається у кожній точки множина , вимірна.

Доведення. Для будь-яких натуральних чисел , і довільного числа розглянемо вимірну множину . Теорема буде доведена, якщо одержимо рівність

.

Нехай елемент , тобто . Знайдемо натуральне число таке, що , а потім, використовуючи властивості границі, знайдемо таке натуральне число , починаючи з якого . Тоді елемент і отже належить правої частини. Навпаки, якщо елемент , то знайдуться натуральні числа і такі, що , тобто до усіх . Переходячи в останній нерівності до границі, коли , дістанемо

і отже . Рівність множин установлена і теорема доведена.

Означення 4.1.3. Деяка обставина (твердження, властивість, умова) має місце майже скрізь на множині , якщо вона має місце для усіх елементів множини , окрім елементів підмножини , міра якої дорівнює нулю.

Означення 4.1.4. Функції і , задані і вимірні на множині , називаються еквівалентними, якщо вони майже скрізь збігаються на множені , тобто .

Еквівалентність функцій і будемо позначати символом .

Означення 4.1.5. Функція називається майже скрізь скінченною, якщо .

Означення 4.1.6. Послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції , якщо вона збігається у всіх точках множини , крім точок підмножини , міра якої дорівнює нулю.

Теорема 4.1.3 (Узагальнення теореми 4.1.2) Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то  вимірна.

Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь, отже на підставі властивості 1, вимірна на . У кожній точки вимірній множині послідовність скінченних вимірних функцій збігається до скінченної функції , отже є вимірною і на множені . Завдяки властивості 4 функція вимірна на .

Означення 4.1.7. Послідовність вимірних на множині функцій збігається за мірою до функції , якщо для будь-якого міра множини прямує до нуля, коли . При цьому у множину включаються і ті елементи, у яких і приймають нескінченні значення.

Теорема 4.1.4 (Теорема Лебега). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то збігається на множині до за мірою.

Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь. Визначимо наступні множини

і .

Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Покажемо, що . Нехай елемент . Тоді в точці послідовність збігається до , отже для будь-якого знайдеться число таке, що для усіх має місце нерівність

.

Отже елемент не належить множині , і тим паче перетину . Оскільки , то і . Тому , коли , але першим доданком об’єднання, що визначає , є множина , отже , коли .

Теорема доведена.

Теорема 4.1.5 Існують послідовності вимірних функцій , що збігається за мірою до , але не збігається ні в одній точки до жодної функції.

Доведення. До кожного натурального розіб’ємо півінтервал на неперетинних півінтервалів і визначимо групу з функцій:

Функції прості і тому вимірні на півінтервалі . Запишемо функції в рядок так, щоб функції з більшим верхнім індексом (з однієї групи) слідували за функцією з меншим індексом. Цю послідовність позначимо символом . Очевидно, що , де Послідовність функцій збігається за мірою до . Дійсно, для будь-якого

.

Нехай довільна точка з півінтервалу . До кожного натурального знайдеться індекс такий, що . Тоді , а всі інші функції з цієї групи в точці приймають значення нуль. Тому послідовність функцій не збігається ні в одній точці з півінтервалу .

Теорема 4.1.6 (Теорема Рісса). Якщо послідовність вимірних функцій збігається за мірою на множині до , то із неї можливо вилучити підпослідовність , що збігається майже скрізь на множині до .

Доведення. Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел така, що ряд збігається. Знайдемо натуральне число таке, що

.

Це можливо тому, що прямує до нуля, коли . За тією ж причиною знайдеться натуральне число таке, що і

.

Припустимо, що визначені числа . Знайдемо натуральне число таке, що і

.

Покажемо, що підпослідовність шукана. Для цього визначимо наступні множини

і .

Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Завдяки вибору послідовності чисел

і оскільки ряд збігається, то , отже . Тепер доведемо, що у кожній точці множини послідовність збігається до . Нехай , тоді і отже знайдеться натуральне число таке, що , тобто для усіх елемент . Отже

для усіх .

Оскільки прямує до нуля, то збігається до .

Теорема доведена.

Теорема 4.1.7 (Теорема Єгорова). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то для будь-якого існує вимірна множина така, що

1) .

2) На множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції .

Доведення. Нехай . При доведенні теореми Лебега було установлено, що для будь-якого : , коли .

Нехай монотонна послідовність невід’ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід’ємних чисел така, що ряд збігається. Для кожного натурального числа знайдемо натуральне число таке, що

.

Для будь-якого знайдемо натуральне число таке, що і покладемо . На підставі наслідку 5 із властивості 8 вимірних множин

,

отже . Візьмемо довільне додатне число  і знайдемо таке натуральне число , що і . Це можливо тому, що , коли . Нехай , тоді і отже . Внаслідок означення множини для усіх буде виконуватися нерівність

.

Оскільки число не залежить від , то на множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції .

Теорема доведена.