3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.

Означення 3.3.1 Нехай  довільна обмежена множина з . Число

, (3.3.1)

де точна нижня межа береться по усім скінченним або зчисленним об’єднанням елементарних множин , називається зовнішньою мірою обмеженої множини .

Властивості зовнішній міри.

1. Зовнішня міра невід’ємна.

2. Зовнішня міра елементарної множини збігається з , тобто .

Доведення. Якщо , то в силу властивості 2 міри елементарних множин, і слід . З іншого боку тому, що входить в множину по якої обчислюється точна нижня межа.

3. Якщо обмежена множина , то .

Ця властивість випливає з означення зовнішньої міри і називається монотонністю.

4. Якщо обмежена множина , де скінченна, або зчисленна сім’я множин, то .

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної множини і довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді і

.

Спрямувавши  до нуля, одержимо указану властивість.

4. Для будь-яких обмежених множин імає місце нерівність

. (3.3.2)

Доведення. Використовавши співвідношення і попередню властивість, одержимо . Помінявши місцями і одержимо і отже маємо (3.3.2).

3.4 Поняття вимірної множини

Означення 3.4.1 Обмежена множина називається вимірною, якщо для довільного числа знайдеться елементарна множина така, що

.

Якщо множина вимірна, то її мірою називається . Міра позначається символом і називається мірою Лебега.

Із означення вимірної множини випливає, що будь-яка елементарна множина вимірна і у сенсі останнього означення і .

Властивості вимірних множин.

1. Якщо множина вимірна, то вимірне доповнення множина до відрізка .

Доведення випливає з рівності

.

2. Об’єднання скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Розглянемо спочатку дві множини і. Для будь-якого числа знайдуться елементарні множини і такі, що

і .

Так як об’єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина, то, використовуючи включення

і властивості 3,4 зовнішньої міри, одержимо.

.

Припустивши вимірність об’єднання вимірних множин , в силу рівності одержимо вимірність множини . Завдяки принципу математичної індукції вимірною буде скінченне об’єднання вимірних множин.

3. Перетин скінченної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення і в цьому випадку достатньо провести для двох множин і . Розглянемо доповнення множини до інтервалу . Внаслідок двоїстості операцій об’єднання і перетину

.

За властивостю 1 доданки у правій частині вимірні, і завдяки властивості 2 вимірна права частина, а тоді за властивістю 1 вимірна множина тому, що

4. Різниця вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай інтервал . Тоді і отже, внаслідок властивостей 1 і 3, різниця – вимірна.

5. Симетрична різниця вимірних множин і є множина вимірна.

Ця властивість випливає з останньої властивості, властивості 2 і рівності

.

6. Адитивність міри. Міра об’єднання скінченної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин , дорівнюю сумі мір, тобто .

Доведення. Спочатку розглянемо дві множини і  загальний випадок легко одержимо методом математичної індукції. Перш за все, використовуючи властивість 4 зовнішньої міри, одержимо

(3.4.1)

За означенням вимірності, для будь-якого числа знайдемо елементарні множини і такі, що

і . (3.4.2)

Надалі значок, що позначає зовнішню міру, будемо опускати тому, що усі множини вимірні. Розглянемо наступні співвідношення і нерівності. Оскільки множини і не перетинаються, то

і, тим більше,

.

А тоді, внаслідок (3.4.2)

(3.4.3)

З властивості 5 зовнішньої міри (див. нерівність (3.3.2)) випливає, що

, (3.4.4)

, (3.4.5)

і, аналогічно, використовуючи включення

,

одержимо

. (3.4.6)

Завдяки адитивності міри елементарних множин (див. наслідок 3)

. (3.4.7)

Застосуємо спочатку нерівність (3.4.6), потім рівність (3.4.7) і на кінець нерівності (3.4.3 – 3.4.5)

.

В силу довільності  одержимо нерівність

,

що разом з (3.4.1) дає необхідну рівність.

Припустимо тепер, що властивість має місце для вимірних попарно неперетинних множин тобто

.

Розглянемо далі вимірних попарно неперетинних множин . Тоді, внаслідок властивості для двох множин і припущення одержимо

.

За принципом математичної індукції, адитивність має місце до будь-якої кількості вимірних попарно неперетинних множин .

Наслідок 1. Якщо і  вимірні множини і , то

.

Доведення аналогічно доведенню такої ж властивості міри елементарних множин.

Наслідок 2. Якщо і  вимірні множини, то

. (3.4.8)

Доведення. Зобразимо об’єднання множин і у вигляді

Множини і не перетинаються, тому на підставі властивості 6

і наслідку 1, маємо

.

Рівність (3.4.8) у теорії ймовірностей називається теоремою додавання.

Наслідок 3. Якщо і  довільні обмежені множини, то

. (3.4.9)

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що

і .

Тоді на підставі наслідку 2

.

Спрямувавши  до нуля, одержимо (3.4.9).

7. Обмежено об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай . Тоді, в силу адитивності міри і обмеженості множини : . Отже ряд збігається. Тоді для довільного числа знайдеться натуральне число таке, що . Внаслідок властивості 4 зовнішньої міри, одержимо

(3.4.10)

Оскільки множина вимірна, то існує елементарна множина така, що

. (3.4.11)

Тоді з нерівностей (3.4.10 – 3.4.11) і співвідношення

випливає . Одже множина є вимірною.

8. Обмежено об’єднання зчисленної сім’ї вимірних множин є вимірна множина.

Доведення. Нехай і . Множини попарно не перетинаються, вимірні і, як легко перевірити, . Отже, внаслідок попередньої властивості, вимірна множина.

Наслідок 4. Якщо виконуються умови властивості 8, то .

Доведення. .

9. Перетин зчисленної сім’ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай і інтервал . Тоді і, внаслідок властивості 6, множина вимірна, одже множина є вимірною.

10. Міра обмеженого об’єднання зчисленної сім’ї вимірних попарно неперетинних множин множин дорівнює сумі мір.

Доведення. Нехай . Тоді з одного боку, в силу властивості зовнішньої міри,

,

а з іншого

Отже

.

11. Нехай вимірні множини такі, що Тоді

.

Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини попарно неперетинні і виконується рівність

.

Використовуючи попередню властивість і наслідок з властивості 6, одержимо

.

12. Нехай вимірні множини такі, що Тоді

.

Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини задовольняють умову попередньої властивості. Отже

.

Внаслідок співвідношень двоїстості одержимо

.

13. Нехай множини такі, що Тоді

. (3.4.12)

Доведення. Внаслідок обмеженості і монотонності послідовності множин і монотонності зовнішньої міри існує і

. (3.4.13)

Щоб довести протилежну нерівність, для кожної множини і довільного числа знайдемо скінченну, або зчисленну систему елементарних множин таких, що і . Нехай . Очевидно, що і . Використовуючи вимірність множин і властивість 11, одержимо

.

Завдяки довільності числа , маємо

,

Що разом з (3.4.13) дає рівність (3.4.12).

Захід, за допомогою якого визначена міра Лебега на множинах, більш загальних за елементарні множина, називається продовженням міри за Лебегом.