74.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.

Теорема: Если ряды ∑U_n (n=от 1 до бесконечности) и ряды ∑V_n (n=от 1 до бесконечности) с положительными членами, и существует предел относительно их общих членов, то ряды одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство: Т к lim U_n / V_n =k, то по определению предела числовой последовательности для любого ξ существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство: |U_n /V_n - k|<ξ, или |U_n- k/V_n|<ξ V_n .

Откуда (k-ξ) V_n < U_n<(k+ξ) V_n. Если ряд из V_n сходится, то сходится и ряд ∑(k+ξ)V_n (n=от 1 до бесконечности), и в силу признака сравнения будет сходиться ряд ∑U_n (n=от 1 до бесконечности). Аналогично, если сходится ряд из U_n , то сходится ряд ∑(k-ξ)V_n (n=от 1 до бесконечности) и сходится ряд из V_n .

Расхождение доказывается аналогично.

Теорема (Признак Даламбера): Пусть для ряда ∑U_n (n=от 1 до бесконечности) с положительными членами существует предел отклонения n+1 члена к n-ному члену lim U_n+1/ U_n (при n, стремящемся к бесконечности). Тогда если А<1, то ряд сходится. Если ряд А>1, то ряд расходится. Если А=1, то неизвестно.

75. Интегральный признак сходимости Коши.

Теорема: Пусть дан ряд f(1)+ f(2)+… +f(n)+…= ∑ f(n) (при n=от 1 до бесконечности), члены которого являются значениями некоторой функции f(k), положительная, непрерывная и убывающая на полуинтервале [1; +бесконечность), тогда если ∫ (от 1 до бесконечности) f(k)dx сходится, то и ряд один также сходится. Если же расходится – то и ряд один также расходится.

Заменим бесконечность на определённое число, считаем предел выражения. Получим, что при const ряд сходится, а при бесконечности – расходится.

76. Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

Под знакочередующимися рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

, где Un>=1.

Теорема.(Признак Лейбница): если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают (U1>U2>U3>…>Un…) и общий член ряда 0, то ряд сходится.

Доказательство: Пусть дан ряд 1, и пусть Un>Un+1; Un0, при n . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов:

Все разности в скобках в силу 1-го условия – положительны, поэтому последовательность частичных сумм {}- явл. Возростающей.

Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

Отсюда следует, что:<U1 для любого n, тоесть последовательность - ограничена и имеет предел: . Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S:

Переходя к пределу: lim=S+0=S

Таким образом последовательность частичных сумм {Sn} ряда 1, сходится к пределу S, а это и означает, что ряд 1 сходится.

Знакопеременные ряды.

Знакопеременным рядом наз. Ряд, в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда) Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится, то сходится и данный ряд.

Доказательство: Обозначим - суммы абсолютных величин членов ряда:

U1+U2+…+Un+…, входящих в него со знаком + или -. Тогда сходимость ряда , а для ряда 2: . По условию ряд 2 сходится. Следовательно сущ. .

Последовательности явл возростающими и ограниченными, значит сущ их пределы и соответственно предел 1-го ряда: . Тоесть искомый ряд сходится.

Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд наз условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится.