77. Степенные ряды.Теорема Абеля.

Степенной ряд:

(1)

Коэфициент Сj- наз коэф степенного ряда. Совокупность тех значений X, при которых степенной ряд (1) сходится, наз областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд сходится при значении и X не равен 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях Х, таких что .

2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях Х таких, что .

Доказательство 1: По условию ряд (1) сходится при отсюда следует, что выполняется необходимый презнак сходимости :.

- ограничена, тоесть сущ такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство:

(2)

Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин членов ряда 1:

, который представлен в виде:

(3)

Члены ряда (3) согласно неравенству (2) меньше соответственно членов ряда:ъ

представляющего геометрич ряд, который сходится, когда его знаменатель

тоесть , ряд (1) сходится по признаку сравнения.

Доказательство 2: По условию ряд (1) сходится при условии Х=Х1. Покажем, что он расходится для всех . Предположим противное, что при ряд (1) сходится, тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1, что противоречит условию, таким образом для всех ряд (1)- расходится.

78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Из теоремы Абеля следует, что сущ такое число , что при - ряд сходится, а при

- ряд расходится.

Число R- наз радиусом сходимости, а интервал от (-R;R) – интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости ряд может сходится и расходится. Рассмотрим ряд (1), в составе которого абсолютные величины его членов:

(4)

в котором все коэф Сn- отличны от 0.

По признаку Даламбера ряд (4) сходится при:

- если этот предел явл радиусом сходимости степенного ряда:

(5)

Свойства степенных рядов:

Пусть функция f(x) – сумма степенного ряда.

1. На любом отрезке АВ целиком пренадлежащем интервалу сходимости, ф-ия f(x) явл непрерывной, а отсюда следует, что степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

2. Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно диффиренцировать.

При этом после диффиренцирования или интегрирования, полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

79. Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема: Пусть функция f(x) имеет в точке «а» и некоторые ее окресности производные порядка n+1. Пусть Х- любое значение аргумента из указанной окресности . Тогда между т. а и х найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

(1)

многочлен относительно Х формулы (1).

Обозначим через , где:

; где

Фиксируем любое значение Хиз указанной окресности для определенности считаем, что х>a. Обозначим через t- переменную величину изменяющуюся на отрезке (а;х) и рассмотрим на этом отрезке вспомагательную ф-ию:

(2)

ф-ия F(t)- на отрезке (а;х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Из формулы (2) и из условий наложенных на ф-ию f(x) , вытекает , что F(t)- непрерывна и диффиринцируема на отрезке (а;х).

.

Пологая, что в (2) f=x , получим:

Внутри отрезка (а;х) сущ т., такая что : (3)

Диффиринцируя равенство (3) по t получим:

Член в формуле Лагранжа.

Формулой Маклорена наз формулу Тейлора для а=0:

, где

1. Понятие множества.

2. Понятие функции, ее свойства.

3. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графике».

4. Предел числовой последовательности.

5. Предел фун в бесконечн и в точке.

6. Бесконечно малые величины.

7. Бесконечно большие величины.

8. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.

9. Первый замечательный предел.

10. Второй замечательный предел.

11. Непрерывность функции. Свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.

12. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

13. Правила дифференцирования.

14. Производная сложной и обратной функций.

15. Производные основных элементарных функций.

16. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

17. Теорема Ферма.

18. Теорема Роля.

19. Теорема Лагранжа.

20. Правило Лопиталя.

21. Возрастание и убывание функции.

22. Экстремум функции.

23. Выпуклость функции. Точки перегиба.

24. Асимптоты графика функции.

25. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков.

26. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

27. Свойства неопределенного интеграла,

28. Интегрирование разложением. Метод подстановки.

29. Метод интегрирования по частям.

30. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

31. Интегрирование рациональных функций.

32. Интегрирование тригонометрических функций.

33. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

34. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

35. Свойства определенного интеграла.

36. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

37. Геометрические приложения определенного интеграла.

38. Несобственные интегралы.

39. Понятие функции нескольких переменных.

40. Геометрическое изображение функции двух переменных.

41. Предел функции двух переменных.

42. Непрерывность функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.

43. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия дифференцируемости.

44. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Достаточное условие дифференцируемости.

45. Производные сложных функций.

46. Дифференциал функции.

47. Производная по направлению.

48. Градиент.

49. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

50. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

51. Наибольшее и наименьшее значения функции.

52. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

53. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших ква.

54. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Геометрическое истолкование.

55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

56. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

57. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод замены переменной.

58. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянн

59. Уравнение Бернулли.

60. Уравнения в полных дифференциалах.

61. Интегрирующий множитель.

62. Дифференциальные уравнения высших порядков.

63. Типы уравнений, допускающих понижение порядка.

64. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейный дифференциальный оператор.

65. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его сво.

66. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения.

67. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

68. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теоремы об общем и частном решениях.

69. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов.

70. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.

72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

73. Ряды с положительными членами. Признак сравнения.

74. Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.

75. Интегральный признак сходимости Коши.

76. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

77. Степенные ряды. Теорема Абеля.

78. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

79. Ряды Тейлора и Маклорена.

Рис 1

f(b) B

A

f(a)

0 а  в х

28. Интегрирование разложением. Метод подстановки. Интегрирование разложением

Метод подстановки

Интегрирование путём введения новой переменной, основанной на формуле

29. Метод интегрирования по частям. Если и=φ₁(х), v=φ₂(х) – диференциальн. ф-ии, то из формулы диференциала произведения двух ф-ий d(u∙v)^/ = udv + vdv получается формула интегрирования по частям

Эта формула применяется в случае, когда подинтегральная ф-ия представляет собой произведение алгебраической ф-ии и трансцендентной.

В качестве и, обычно, выбирается ф-ия, которая упрощается дифференцированием, а в качестве dv оставшаяся часть подинтнгрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v, путём интегрирования. Пример:

3 0. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.