Пятый замечательный предел:

Четвертый замечательный предел

16. 4. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции.

Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой, коротко б.м.) в точке (при ), если или

( - б.м. при ) .

Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой, коротко б.б.) в точке (при ), если , т.е. для любой последовательности значений аргумента , , соответствующая последовательность значений функций - б.б.:

( - б.б. при ) (, - б.б.).

Определив б.б. функцию, мы фактически дали определение бесконечного предела в точки . Аналогично определяются бесконечные пределы определенного знака: и .

На “языке ” определение б.б. функции, т.е. бесконечного предела в точке , выглядит так: ( -б.б. при )

.

Так, в примере 16.7. мы показали, что многочлен степени является б.б. при .

Роль б.м. функций в теории пределов раскрывает следующая теорема.

Теорема 16.4. Функция в точке предел, равный А, тогда и только, когда ее можно представить в виде , где - б.м. при . Иными словами:

- б.м. при ).

Доказательство. (Необходимость). Пусть , положим и покажем, что - б.м. при . Действительно, для любой последовательности значений аргумента , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А: . Тогда последовательность имеет предел при , равный нулю: . Но “на языке последовательностей” это означает, что , т.е. - б.м. при .

(Достаточность). Пусть , где - б.м. при . Так как - б.м. при , то , т.е. , т.е. . На “языке ” это и означает, что

Основные свойства б.М. Функций.

1. Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, т.е. если , - б.м. функции при , то - б.м. функция при .

Следствие: Сумма конечного числа б.м. функций есть б.м. функция.

Это непосредственно вытекает из определения 1 предела функции и соответствующего свойства б.м. последовательностей (см. пункт 14.5, свойство 1).

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая, т.е. если функция ограничена в окрестности точки , а - б.м. при , то - б.м. функция при .

Это вытекает из определения 1 предела функции и свойств б.м. последовательностей (см. пункт 14.5, свойство 2).

Следствия: а) Произведение б.м. функции на число есть б.м. функция;

б) Произведение б.м. функции есть б.м. функция;

в) Связь б.м. б.б. функций: обратная к б.м. функции есть б.б. функция и наоборот, т.е. если - б.м. функция при и , то функция - б.б. функция при . Обратно, если б.б. функция при , то - б.м. функция при .

Вытекает из определения 1 предела функции и аналогичного свойства предела последовательности.

Пример 16.10. Вычислить (см. пример 16.8).

Функция f (x) = x² + 4x – 5 имеет предел в точке х₀ = -1: , а функция g (х) = х² –1 есть б. м. при х  -1, тогда обратная к ней функция – б. б. при х  -1, следовательно

.

16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.

Пусть  (х) ,  (х) – б. м. при , т.е. и .

1. Если , то  (х) и  (х) называются б. м. одного порядка.

2. Е

   

   сли = 1, то  (х) и  (х) называются эквивалентными бесконечно малыми. Записываем это так:  (х)  (х) .

3. Если =0, то  (х) называется б.м. более высокого порядка, чем б.м.  (х) (еще говорят, что  (х) имеет более высокий порядок малости, чем  (х), при хх₀) записываем это так:  (х)= ( (х)). Символ читается "0 малое".

4. Если =А (0; ), то  (х) называется бесконечно малой порядка n относительно  (х).

А

налогичные определения имеют место и для б.б. функций. В частности, если А(х) и В(х) – б.б. при хх₀, т.е.  и  , то они называются эквивалентными б.б. при хх₀, если 1. Пишем А(х) В(х)

Т

ак если Р_п (х) = а₀х^п + а₁х^п-1 + . . . + а_п-1х + а_п – многочлен степени п, то

Р

_п (х) = а₀х^п ( 1+ + . . . + ) а₀х^п.

В

ажнейшие эквивалентности, используемые при вычислении пределов:

1. sin x x, 3. e^x – 1 x;

2

. ln (1 + x) x, 4. (1 +x)^ - 1  x,  >0.

Это запись первого, третьего, четвертого и пятого замечательного предела на языке эквивалентных б. м.

Рассмотрим применение эквивалентных б. м. и б. б. к вычислению пределов.

Теорема 16.5. Пусть ₁(х), ₂(х), ₁(х), ₂(х) – б. м. функции при и ₁(х) ₂(х), ₁(х) ₂(х). Тогда справедливо равенство (16.3)

Д

оказательство. ₁(х) ₂(х) _ =1, ₁(х) ₂(х) _ =1.

Тогда .

Д

=1

=1

ля эквивалентных б. б. функций справедлива формула, аналогичная формуле (16.3).

Это означает, что при вычислении пределов частного и произведения функций одну б. м. (б. б.) можно заменить на другую б. м. (б. б.), эквивалентную первой.

Пример 16.11.

П

ояснение. Так как e^x-1 x , то x².

Д

алее: (1+ х) ^ -1  х  -1 ,

sin x x  sin²x x²  -1 .

Затем применили теорему 16.5.