2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.

Рассмотрим задачи о нахождении расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении в пространстве.

Расстояние между двумя точками и равно длине диагонали прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 2.4). Тогда

.

Если точка делит отрезок в отношении, т. е. , то (2.5)

Если точка является серединой отрезка , то ее координаты получим из формул (2.5) при , т. е.

. (2.6)

3. Векторы на плоскости и в пространстве.

3.1. Основные понятия.

Определение. Вектор- направленный отрезок, его характеристики- направление и длина.

Обозначать вектор будем символом , либо, где точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора:

.

Начало вектора называется его точкой приложения. Модуль (длину) вектора будем обозначать символом или .

Векторы и называются коллинеарными, пишем ||, если они лежат на параллельных прямых.

Если коллинеарные векторы сонаправлены (одинаково направлены), то пишем: (рис. 3.2 а), если противоположно направлены, то пишем (рис. 3.2 б).

Error: Reference source not found

Два вектора и называются равными, пишем =, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину, т.е.

= <=> и =

Из этого определения вытекает, что векторы допускают параллельный перенос, т. е. являются свободными, точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, а равные векторы совмещаются параллельным переносом.

Нулевой вектор - вектор, длина которого равна нулю: =0. Начало и конец нулевого вектора совпадают, а его направление не определено. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Единичный вектор или орт- это вектор, длина которого равна единице, если - орт, то

=1. Единичный вектор, сонаправленный с вектором , называется ортом вектора и

обозначается : и =1.

Вектор называется противоположным вектору , если они противоположно направлены и их модули равны: и =. Обозначается: -. Из рис. 3.3 ясно, что если , то , т.к. и =.

3.2. Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся операция сложения векторов и операция умножения вектора на действительное число.

Сложение векторов. Под суммой векторов и понимаем вектор +, идущий из начала вектора в конец вектора , если начало вектора приложено к концу вектора (см. рис. 3.4):

Э то правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Правило параллелограмма сложения векторов (см. рис. 3.5): начала векторов и совмещают, тогда сумма векторов и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

Эквивалентность этих определений ясна из рис. 3.4 и 3.5.

Свойства сложения векторов:

1. Коммутативность: +=+

2. Ассоциативность: (+)+=+(+)

3. Нулевой вектор: существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора +=+=

4. П ротивоположный вектор: для любого вектора существует противоположный вектор - такой, что +(-)=(-)+=

Доказательство: Свойство 1 вытекает непосредственно из определения сложения векторов по правилу параллелограмма (см. рис. 3.5). Свойство 2 вытекает из правила треугольников (см. рис. 3.6).

Разностью векторов и называется вектор –=+(-). Другими словами, разность векторов и – это такой вектор =–, который, будучи прибавлен к вектору , даст вектор (см. рис. 3.7).

Умножение вектора на число. Произведением вектора на число λ называется вектор λ такой, что:

1. ;

2. , если λ>0;

, если λ<0;

Свойства умножения вектора на число:

1. 1•=;

2. α (β )=(α β)

3. (α+β) =α+β

4. 

Доказательство свойств 1, 2, 3 легко получить непосредственно из определения умножения вектора на число и сложения векторов (представляется читателю). Свойство 4 основано на подобии параллелограммов изображенных на рис. 3.9, где λ является коэффициентом подобия при λ>0.

Следствия определения и свойств линейных операций над векторами.

1. 0•= для любого вектора

2. -=(-1)•

3. Условия коллинеарности:

||  существует число α такое, что =α. Действительно, если =α, то || по определению умножения вектора на число.

Обратно. Если ||, то возможны два случая:

1. , тогда =α, где ,

2. , тогда =α, где

4. Орт вектора:, • .

Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов ₁, ₂, …,_n с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_n называется вектор λ₁₁+λ₂₂+…+λ_nn.