§1.46. Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

β и ω₀ имеют прежний смысл

Если F(t) – периодическая функция времени, то после приложения этой силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при которых осциллятор одновременно участвует в двух колебаниях:

S(t) = x₁(t) + x₂(t)

x₁(t) соответствует свободным затухающим колебаниям

где

x₂(t) соответствует незатухающим периодическим колебаниям с частотой, равной частоте вынуждающей силы F(t).

Амплитудное значение x₁(t), равное A₀e^-βt, быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний: и за время амплитуда x₁(t) уменьшается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время τ после начала колебаний (τ ~ τ₀) свободные колебания практически прекращаются:

x(t) ≈ x₂(t)

Наступает состояние установления вынужденных колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы. Если учесть, что при малых затуханиях Q ≈ то время установления τ можно оценить по формуле

τ ~ ~ 10

т.е. чем больше добротность осциллятора, тем больше время его установления τ.

Пусть

F(t) = F₀ Cos Ωt,

где F₀ – амплитуда вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания будут также гармоническими с той же частотой Ω, т.е.

x(t) = A Cos(Ωt + φ₀)

Подставив это в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, можно получить:

При Ω = 0 получим φ₀(0) = 0

и А(0) = А₀ = статическое смещение из положения равновесия под действием постоянной силы F₀.

При Ω → ∞ получим A(Ω) → 0 и tg φ₀ → 0, а φ₀ → - Ω.

График зависимости A(Ω) и φ₀(Ω) показан на рисунках

O

Частоту установившихся вынужденных колебаний Ω_р, при которой амплитуда А достигает наибольшего значения (резонансную частоту вынужденных колебаний), можно найти из условия минимума знаменателя в выражении для А.

где ω – частота свободных затухающих колебаний

где δ = βТ = 2πβ/ω – логарифмический декремент затухания.

Резюме

• дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

• - математический маятник

• - пружинный маятник

• - физический маятник

• - затухающие колебания

• период затухающих колебаний.

• время релаксации (амплитуда колебаний уменьшается в e раз)

• δ = логарифмический декремент затухания.

• - амплитуда при резонансе

• 

Л-9

§1.47. Волновые процессы.

Волна. Плоская синусоидальная волна.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде - волна. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Продольные волны – частицы колеблются в направлении распространения волны,

Поперечные волны - частицы колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны – возникают в средах, в которых появляются упругие силы при деформации сжатия или растяжения, т.е. твёрдых, жидких и газообразных средах.

Поперечные волны – возникают в средах, в которых появляются упругие силы при деформации сдвига, т.е. фактически только в твёрдых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а твердых телах – как продольные, так и поперечные.

S

B

λ

x

x

O

Длина волны λ – расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Волновой фронт – геометрическое место точек пространства, до которых доходят колебания к моменту времени t

Волновая поверхность - геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один.

Волна называется плоской – если её волновые поверхности являются плоскостями, параллельными друг другу.

Сферическая волна – волновые поверхности - сферы.

Бегущие волны – волны, переносящие в пространстве энергию. Перенос энергии волной количественно характеризуется вектором плоскости потока энергии – вектором Умова.

Пусть среда не поглощает, тогда колебания в какой-либо точке В отличаются от колебаний в начале координат О, происходящих по закону S = f(t), только тем, что они сдвинуты по времени на , поэтому в плоской волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, S являются функцией разности поэтому уравнение такой плоской волны будет иметь вид

.

Если волна распространяется в противоположном направлении, то

Для синусоидальной волны

но т.к. то

или

Величина в скобках - фаза Ф плоской волны.

В этом случае

Это - уравнение бегущей волны.

Учитывая формулу Эйлера уравнение волны можно записать в виде

где .

Фазовая скорость волны – скорость распространения в пространстве фазы волны (Ф = const).

откуда

т.е. V – и есть фазовая скорость волны.

т.к. то

Дисперсия волн – зависимость их фазовой скорости в среде от частоты, а среда, в которой это наблюдается - диспергирующая среда.