1.4. Информационное представление объекта

Все многообразие действующих параметров можно разделить:

1) на входные параметры Х, значения которых могут быть измерены, но воздействовать на них (изменять значения) нельзя;

2) управляющие параметры U, на значения которых можно оказывать воздействие;

3) внешние и возмущающие параметры В, изменяющиеся во времени (климатические условия), или случайного характера (отказ устройств);

4) выходные параметры Y, величины которых определяются режимом работы объекта и характеризуют его состояние как результат суммарного воздействия входных, управляющих и внешних факторов;

5) внутренние параметры Q определяющие структуру G, протекающие процессы P и режим функционирования R объекта.

Тогда произвольный моделируемый объект можно представить в следующем информационном виде (рис. 1)

U

X Y

Q(G,P,R)

B

Рис. 1. Информационное представление объекта

1.5. Методика построения математической модели

В общем случае процедура получения математической модели включает в себя следующие этапы:

1. Формирование формализованного описания, в рамках которого определяются свойства объекта, набор основных элементарных процессов, подлежащих отражению, список характеризующих их параметров. На этом этапе формируются требования, предъявляемые к ММ, принимаются основные допущения.

2. Разработка математического описания, которое представляет собой замкнутую систему в общем случае дифференциальных уравнений в частных производных, объединяющую аналитические зависимости для выделенных процессов в соответствии с принятыми допущениями. Для обеспечения замкнутости система уравнений может быть дополнена балансовыми уравнениями, эмпирическими зависимостями, граничными и начальными условиями.

3. Выбор метода решения, разработка алгоритма расчета. На данном этапе, согласно сформированным требованиям к ММ (например, по точности, экономичности) и ее классификационным признакам, определяется подход и метод решения, который детализируется в виде расчетного алгоритма.

4. Проведение численных исследований, где при помощи программы, описывающей на одном из алгоритмических языков полученный ранее алгоритм, осуществляется определение модельных значений параметров объекта .

5. Оценка точности и адекватности модели, включающая проведение и обработку данных физических экспериментов (промышленной эксплуатации), либо численных с использованием более точных моделей, а также определение погрешности полученных результатов, оценку их области адекватности.

2. Математические модели на микроуровне

2.1. Общая характеристика микромоделей

Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в непрерывной среде и времени с заданными краевыми условиями.

Независимые переменные: x, y, z, t.

Зависимые (фазовые) переменные, характеризующие физическое состояние объекта (их изменения во времени – переходные процессы): для механической системы – скорость, сила, для гидравлической системы – давление, расход, для тепловой системы – температура, тепловой поток.

Уравнения: интегральные, интегро-дифференциальные, дифференциальные в частных производных (ДУЧП) (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье–Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т. д.).

Результат: поля фазовых переменных.

В частности, при моделировании процессов, протекающих в различных технических объектах, среди основных можно выделить процессы движения и теплообмена.

Наиболее общими уравнениями, описывающими процессы движения, являются уравнения Навье-Стокса, которые при определении полной производной векторной функции скорости (x,y,z,t) элементарного объема учитывают 1) массовые (объемные) силы (силы тяжести ), 2) поверхностные силы, к которым относятся силы давление P , а также силы трения за счет вязкости и в декартовой системе координат имеют вид [5]:

(1)

где , , – характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости (локальное изменение скорости), скорости изменения координат во времени (проекции вектора скорости на оси координат x,y,z); – характеризуют изменения скорости при переходе от точки к точке; F_x, F_y, F_z – проекции вектора силы на оси координат; – плотность; P – давление; – коэффициент вязкости.

Процессы теплообмена (переноса теплоты) связаны с обменом внутренней энергией между элементами исследуемого объекта. Поэтому они описываются в общем случае уравнением переноса внутренней энергии (т.е. без учета изменения кинетической и потенциальной ее составляющих).

В самом общем виде уравнение энергии для изобарического (при постоянном давлении) процесса переноса теплоты можно записать [5] как

,

где i=i(Т,p) – энтальпия единицы объема; Т – температура; ; – количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в элементарном объеме в единицу времени (мощность внутренних источников).

Теплообмен может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением:

1) теплопроводность – перенос, определяемый взаимодействием микрочастиц соприкасающихся тел;

2) конвекция – перенос, обусловленный пространственным перемещением вещества. Наблюдается в движущихся средах (жидкости, газы);

3) излучение – перенос энергии в виде электромагнитных волн.

Во многих прикладных задачах процесс переноса тепла осуществляется различными способами (сложный теплообмен). При описании конвективных переносов необходимо учитывать процессы теплопроводности между отдельными частями сплошной среды (тепло- и массоперенос). Радиационный теплообмен (излучение) может осложняться теплопроводностью, конвекцией и т. д. Примером такого сложного теплообмена могут служить процессы при фазовых превращениях, химических реакциях. При рассмотрении процессов теплопередачи в твердых телах большое значение могут приобретать эффекты, связанные с расширением тел при повышении температуры.

Если при переносе теплоты для локального (местного) значения плотности теплового потока учитывать только теплопроводность и конвекцию , а также с учетом получим следующее выражение уравнения энергии

, (2)

где – коэффициент температуропроводности; – характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости (локальное изменение температуры); – характеризует изме-нение температуры при переходе от точки к точке (конвективное изменение температуры).

Если , (конвективное изменение не учитывается), то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности

. (3)

Уравнения (1–3) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей – граничные условия, а в случае нестационарных задач – значения этих же функций в начальный момент времени – начальные условия). Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи (с начальными условиями – задачей Коши) и представляет собой ММ исследуемого объекта.

Граничные условия в краевых задачах могут задаваться различными способами. На границе рассматриваемой области можно задать: а) значение искомой функции; б) значения производных по пространственным координатам от искомой функции; в) уравнение баланса потоков. В этих случаях говорят о граничных условиях первого, второго и третьего рода соответственно.

В частности при моделировании процессов теплообмена распределение температуры в точках среды в различные моменты времени определяется из уравнения в частных производных (уравнения теплопроводности). Для однозначного определения температурного поля T(x, у, z, t) помимо уравнения теплопроводности необходимо сформулировать дополнительные (замыкающие) соотношения, так как решения уравнений в частных производных определяются с точностью до некоторых произвольных функций. Чтобы конкретизировать решение формулируются некоторые дополнительные соотношения (в некоторых точках известно само решение, или производные от решения в некоторых направлениях и т. д.)

Например, пусть расчет температурного поля для уравнения теплопроводности осуществляется в некоторой выбранной области пространства. Для упрощения рассмотрим случай с постоянной расчетной областью , в которой и определяется решение уравнения теплопроводности [12, 13].

Будем считать для определенности, что исследуется процесс теплопередачи, начиная с момента времени t = 0 до некоторого момента времени t = t_max > 0. Поэтому решение уравнения теплопроводности (3) определяется в цилиндре Q={(x,y,z,t)|(x,y,z)Ω, 0<t<t_max}, т.е.

, (x,y,z,t) Q.

Это уравнение содержит частные производные, как по пространству, так и по времени. Поэтому дополнительные соотношения должны задаваться на множествах точек пространственной области и временного интервала (0, t_mах) на некоторых множествах точек цилиндра Q.

Для уравнения теплопроводности обычно ставятся краевые задачи. В этом случае дополнительные соотношения задаются на границе Q и называются краевыми условиями. Условия на боковой поверхности цилиндра Q соответствуют условиям по пространственным переменным (на границе пространственной области ). Поэтому для таких условий уместно использование термина граничные условия. Условия на нижнем основании Q соответствуют заданию начальных условий.

Имеется возможность задания и более сложных условий. Например, вместо начальных условий при t = 0 могут быть заданы дополнительные условия на другом сечении цилиндра Q, например, при некотором t = t*. Другими словами, множество точек, где заданы дополнительные соотношения, может лежать и внутри Q.

Обычно считается, что температурное поле задано на начальный момент времени, т.е.

(x,y,z)Ω (4)

При рассмотрении высокоинтенсивных температурных процессов, например на основе гиперболического уравнения теплопроводности, необходимо задавать два условия по времени:

, (x,y,z,t) Q

где – определяет мощность внутренних источников теплоты.

Например, в начальный момент времени известна температура и скорость ее изменения во времени. Это позволяет задать помимо (4) и условие (5):

(x,y,z)Ω t=0. (5)

Задание условий типа (4) требует при прикладном моделировании проведения прямых измерений температуры в некоторый фиксированный момент времени. Такие измерения не всегда возможны. Поэтому могут использоваться и другие подходы. Например, для уравнения (3) могут быть приемлемыми условия в конечный момент времени, т.е. вместо условия (4) задано условие (6):

, (x,y,z)Ω. (6)

В этом случае по условиям (6) необходимо на основе уравнения теплопроводности восстановить температурное поле в предыдущий момент времени t < t_max. Таким образом, мы формулируем ретроспективную задачу для уравнения теплопроводности.

Среди граничных условий для уравнения теплопроводности (условия первого, второго и третьего рода) наиболее простая ситуация характеризуется заданием температурного поля на границе (граничные условия первого рода):

, (7)

где Г – боковая поверхность : Г={(x,y,z,t)|(x,y,z)Ω, 0<t<t_max}. Условия первого рода (7) называются также условиями Дирихле.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) соответствуют заданию на границе теплового потока. Для уравнения теплопроводности (3) в изотропной среде (независимость свойств физических объектов от направления) оно записывается в виде

, , (8)

где через д/дп обозначена внешняя по отношению к области нормаль к границе .

Более сложная ситуация возникает с постановкой граничных условий второго рода для уравнения теплопроводности в анизотропных средах [13].

Граничное условие третьего рода моделирует конвективный теплообмен между поверхностью твердого тела с окружающей средой, которая имеет температуру Т_с. Обычно считается, что тепловой поток пропорционален разности температур между поверхностью и окружающей средой и поэтому для изотропной среды имеем

, (9)

где – коэффициент теплоотдачи.

Граничные условия третьего рода могут рассматриваться как наиболее общие из приведенных выше. Эти условия можно записать в форме

, . (10)

Тогда при 0 из (10) мы получим условие второго рода (8) и, напротив, при  следуют условия первого рода (7).

Таким образом, в общем виде ММ на микроуровне можно представить в следующем виде

– дифференциальное уравнение

(11)

– краевые условия,

где – коэффициенты; – дифференциальные операторы; – заданная функция; – зависимая (фазовая) переменная; – вектор пространственных координат.