Тема 3. Поверхности 2-го порядка.

. Установить, какие поверхности задаются следующими уравнениями 2-го порядка в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти поверхности.

1. x² y² z² = 1 2. = 1 3. = 1 4. y² z² = 4

5. x = 6. = x² 7. = 1 8. y =

9. = 1 10. = z² 11. = 0 12. y = x² z²

. Найти сечения поверхностей 2-го порядка указанными плоскостями; определить параметры полученных линий.

1. = 1 а) x = 2; б) y = 0; в) z = 3

2. = 1 а) x = 0; б) y = 1; в) z = 5

3. x = а) x = -1; б) y = 3; в) z = 0

4. y = x² z² а) x = 3; б) y = 0; в) z = 2

5. = x² а) x = 1; б) y = -5; в) z = -1

6. = 0 а) x = 0; б) y = 2; в) z = 1

7. = 1 а) x = 5; б) y = 0; в) z = -1

8. y² z² = 4 а) x = 1; б) y = 2; в) z = 1

.

1. Найти точки пересечения поверхности с прямой L:

а) : = 1, L: = = б) : = 1, L: = =

2. Найти точки пересечения поверхности с прямой L:

а) : y² = -1, L: x3 = y 1 = б) : = 1, L: = =

3. Составить уравнение цилиндрической поверхности, описанной около сферы

(x a)² y² z² = a² с осью, параллельной: а) оси OX; б) оси OY; в) оси OZ.

4. Составить уравнение цилиндрической поверхности с образующей и направляющей L:

а) {1; 2; 3}, L: б) {1; 1; 1}, L:

5. Найти угол между образующей и осью конуса: x² y² = 0

6. Составить уравнение конуса, если заданы вершина M₀ и направляющая L:

а) M₀(0; -1; 0), L: б) M₀(0; 0; c), L:

7. Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой

вокруг оси: а) OZ; б) OX.

8. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой

вокруг оси: а) OY; б) OZ.

О Т В Е Т Ы

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости

Тема 1. Уравнение линии на плоскости.

.

y

y

1. 2.

x

x

1

-1

1

-1

y

y

3. 4.

x

x

3

-2

3

-2

y

y

5. 6.

2

x

-1

x

3

1

y

y

7. 8.

2

1

x

x

1

1

-1

-1

2

-1

y

y

9. 10.

x

1

1

x

1

-1

1

-1

-1

-1

1

y

11. 12.

y

x

x

-1

1

-1

y

13. 14.

x

y

1

-1

x

-2

-1

y

15. 16.

x

y

1

1

-1

-1

1

x

-1

-1

.

y

1. 2.

x

y

1

1

2

-1

x

-3

-1

3. 4.

x

8

y

1

y

1

x

4

1

1

5. 6.

y

y

1

1

x

x

1

-2

-1

7. 8.

8

y

y

4

x

-1

1

-2

x

2

1

1

9. 10.

y

4

y

1

1

x

x

8

2

1

.

y

1.

M

4

а) {1; 2}, M(-2; 4); 1(x + 2) + 2(y - 4) = 0  x + 2y - 6 = 0

x

1

2

-2

6

y

3

б) {-1; 3}, M(2; 1); -1(x - 2) + 3(y - 1) = 0  x - 3y + 1 = 0

x

M

1

2

-1

y

в) {2; -1}, M(-3; 2); 2(x + 3) - 1(y - 2) = 0  2x - y + 8 = 0

M

2

2

-4

x

-3

-1

y

г) {1; 0}, M(-3; -2); 1(x + 3) + 0(y + 2) = 0  x + 3 = 0

-3

x

M

1

-2

y

M

2.

5

а) {1; 2}, M(-3; 5); =  2x - y + 11 = 0

x

1

2

-3

-5,5

y

7

3

б) {-1; 3}, M(2; 1); =  3x + y - 7 = 0

x

M

1

2

-1

y

5

в) {1; -2}, M(3; -1); =  2x + y - 5 = 0

x

3

1

M

-1

-2

y

г) {1; 0}, M(-3; -2); =  y + 2 = 0

-3

x

1

-2

M

3.

y

M

5

а) {1; -2}, M(3; 5);  2x + y - 11 = 0

1

5,5

x

3

-2

y

3

б) {-1; 3}, M(-2; 1);  3x + y + 5 = 0

x

M

1

-2

-1

-5

y

3

в) {2; 3}, M(1; -1);  3x -2y - 5 = 0

x

2

1

M

-1

-2,5

y

г) {0; 1}, M(-3; 2);  x + 3 = 0

M

1

-3

2

x

4.

y

M₂

5

а) M₁(1; 2), M₂(-3; 5); =  3x + 4y - 11 = 0

2

M₁

x

1

-3

y

3

M₁

б) M₁(-1; 3), M₂(2; -4); =  7x + 3y - 2 = 0

x

2

-1

M₂

-4

y

в) M₁(1; -2), M₂(1; 2); =  x -1 = 0

x

M₂

1

2

-2

M₁

y

-1

1

M₂

г) M₁(-1; -2), M₂(3; 1); =  3x - 4y - 5 = 0

x

M₁

3

-2

5.

y

а) a = 4, b = 3; + = 1  3x + 4y - 12 = 0

3

x

4

y

б) a = -3, b = 2; + = 1  2x - 3y + 6 = 0

x

2

-3

y

в) a = 1, b = - 4; + = 1  4x - y - 4 = 0

x

1

-4

y

г) a = -2, b = -3; + = 1  3x + 2y + 6 = 0

x

-2

-3

6.

y

а) = , p = 4; xcos + ysin 4 = 0  x + y - 8 = 0

4

x

8

y

3

б) = , p = 3; xcos + ysin 3 = 0  x + y - 3 = 0

x

3

3

y

4

в) = , p = 2; xcos + ysin 2 = 0  x - y + 4 = 0

x

2

y

г) = - , p = ; xcos + ysin = 0 

x

 x + y + 2 = 0

-2

y

7.

M

а) = , M(-3; 5); y - 5 = tg (x + 3) 

5

 x - y + 5 + 3 = 0

x

-3

y

б) = , M(1; -2); y + 2 = tg (x - 1)  x + y + 1 = 0

x

1

-2

M

y

в) = , M(2; 1); y - 1 = tg (x - 2)  x - y + 1 - 2 = 0

x

1

M

2

3

y

г) = , M(0; 3); y - 3 = tg (x - 0)  x - y + 3 = 0

M

x

y

8.

а) y₀ = 1  y - 1 = 0

1

x

y

б) x₀ = 4  x - 4 = 0

x

4

y

в) x₀ = -3  x + 3 = 0

-3

y

г) y₀ = -2  y + 2 = 0

x

-2

.

1. [AB]: 3x + 4y + 2 = 0, [AC]: 3x - 4y + 10 = 0, [BC]: x - 4y + 22 = 0,

[m_A]: 9x - 4y + 22 = 0, [h_A]: 4x + y + 7 = 0, [l_A]: x + 2 = 0.

2. [AB]: 4x - 3y - 6 = 0, [AC]: 12x + 5y - 46 = 0, [BC]: 8x + y - 54 = 0,

[m_A]: x + y - 5 = 0, [h_A]: x - 8y + 13 = 0, [l_A]: x + 8y - 19 = 0.

3. [AB]: 3x - 4y + 13 = 0, [AC]: 12x + 5y + 31 = 0, [BC]: 6x - y - 23 = 0,

[m_A]: 6x + 13y + 5 = 0, [h_A]: x + 6y - 3 = 0, [l_A]: 3x + 11y - 2 = 0.

4. [AB]: 4x - 3y + 6 = 0, [AC]: 3x - 4y - 6 = 0, [BC]: 5x - 2y + 4 = 0,

[m_A]: 11x - 10y + 6 = 0, [h_A]: 2x + 5y + 42 = 0, [l_A]: x - y = 0.

5. [AB]: x - y = 0, [AC]: x - 7y = 0, [BC]: x + 5y - 12 = 0,

[m_A]: x - 3y = 0, [h_A]: 5x - y = 0, [l_A]: x - 2y = 0.

6. [AB]: x + 2y + 4 = 0, [AC]: 2x - 11y - 7 = 0, [BC]: 4x - 7y - 29 = 0,

[m_A]: y + 1 = 0, [h_A]: 7x + 4y + 18 = 0, [l_A]: x + 7y + 9 = 0.