Приклад 2

Тілу М масою m, прийнятому за матеріальну точку, яка знаходиться на гладкій похилій площині, що утворить із обрієм кут α (рис. 35), надана початкова швидкість V₀, спрямована під кутом β до лінії найбільшого ухилу. Визначити рівняння руху тіла по похилій площині.

Розв’язання

Дано:

m, V₀, ,

х-?

Рис. 35

Тому що точка робить рух по похилій площині, для розв’язання завдання досить вибрати систему із двох координатних осей, що лежать у цій площині. Помістимо початок системи осей Оху в початковому положенні тіла, вісь Ох напрямимо вздовж найбільшого ухилу донизу, а вісь Оу – перпендикулярно до неї.

Зобразимо тіло в довільному положенні. На нього діють дві сили: сила ваги Р, спрямована вертикально вниз, і реакція N похилої площини, спрямована за перпендикуляром до цієї площини.

Склавши суми проекцій на осі Ох і Оу всіх сил, що діють на тіло і підставивши їх у праві частини рівнянь, маємо:

m = mg sinα, m=0

звідки:

x = g sinα; y = 0.

Проінтегрувавши ці рівняння, одержимо:

=gt sinα +C_l; = С₂.

Інтегруючи ще раз, знайдемо:

x = + C₁t + C₃; y=C₂t + C₄. (а)

Установимо початкові умови руху тіла. При t = 0:

х = х_о= 0; y = у_о = 0;

=₀ = V₀cos β; = ₀=V₀ sin β.

Отже, підставимо їх в рівняння (а) і одержимо:

C₁ = V₀cos β, C₂ = V₀sin β,

С₃ = 0, С₄ = 0,

Підставимо ці значення С₁, С₂, С₃, С₄ В (а) і матимемо:

X = V₀t cos β+; y = V₀t sin β.

Це і є шукані рівняння руху тіла. З кінематики видно, що траєкторією руху тіла є парабола з віссю симетрії, паралельної осі Ох.

Відповідь: x = V₀t cos β +; y = V₀t sin β.

Приклад 3

Судно рухається під дією сили тяги мотора. Коли швидкість судна дорівнює , мотор перестає діяти і судно починає рухатися, зазначаючи тільки опір води, величина якого пропорційна швидкості судна, тобто . Знайти закон руху судна після зупинки дії мотору, якщо через після початку цього руху швидкість судна зменшується вдвоє (рис. 36).

Розв’язання

Вага судна зрівноважується архимедовою силою . У горизонтальному напрямку після зупинки дії мотору діє тільки сила опору води , яка напрямлена в сторону, протилежну швидкості судна. Якщо вісь напрямлена в сторону руху судна, тоді:

Рис. 36

.

Оскільки є функція швидкості, то доцільно скласти диференціальне рівняння руху у вигляді:

,

або після розділу змінних,

.

Інтегруючи це рівняння, дістанемо:

. (1)

Щоб визначити сталу інтегрування , скористаємося початковою умовою: при ; дістанемо .

Тоді, звідси маємо:

,

або,

, (2)

тобто:

,

звідси, інтегруючи невизначеним інтегралом, одержимо:

(3)

Щоб визначити сталу інтегрування , скористаємося початковою умовою: при , дістанемо:

.

Отже (4)

Оскільки за умовою задачі при , то з рівняння (2) дістанемо:

,

звідси:

. (5)

Таким чином закон руху судна одержимо, підставивши (5) в (4)

,

або:

.

Відповідь: .