Приклад 2

Визначити переміщення плавучого крана , який піднімає вантаж вагою при обертанні стріли крана на до вертикального положення. Вага крана , довжина стріли . Опором води нехтуємо (рис. 40).

Рис. 40

Розв’язання

Для розв’язання цієї задачі слід застосувати теорему про рух центра мас механічної системи. Оскільки ця загальна теорема динаміки виключає внутрішні сили, а до зовнішніх сил належать сили ваги вантажу , і крана , а також реакція води .

Осі координат виберемо так, як показано на рис. 40. Складемо диференціальне рівняння руху центра мас системи в проекціях на вісь :

.

Оскільки зовнішні сили вертикальні, то .

Отже: звідси , тобто , і

.

Сталу інтегрування визначимо з початкових умов: при , оскільки система на початку руху перебувала в спокої. Таким чином, . Отже: , тобто, звідси,

.

При . Тому координата центра мас системи протягом всього руху залишається незмінною: .

З умови задачі .

Для остаточного розв’язання задачі необхідно визначати абсцису центра мас на початку руху і наприкінці руху.

На початку руху,

.

Наприкінці руху,

.

Але . Прирівнюючи праві частини цих рівностей, дістанемо:

,

або,

,

але і, отже,

,

звідси,

.

Відповідь: ; від’ємний знак показує, що кран переміститься наліво.

Кінетична енергія. Робота сили. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи твердих тіл

1. Диск радіуса 0,11 м обертається у своїй площині навколо центра О з кутовою швидкістю 2 с^-1. По ободу диска рухається матеріальна точка вагою 20,8 Н з відносною швидкістю 0,27 м/с y тому самому напрямі. Визначити кінетичну енергію точки.

Відп.: Т = 24,5 Нм.

2. На гладенькій площині, нахиленій під кутом α до горизонту, тілу надали початкової швидкості v₀, напрямленої вздовж лінії найбільшого скату вниз. Визначити швидкість тіла залежно від пройденого шляху s.

Відп.: v² = v₀² + 2gs sin α .

3. Між двома паралельними зубчастими рейками розміщено зубчасте колесо вагою 2,94 кH (див. рис. 41). Верхня рейка рухається вправо зі швидкістю v₁ = 0,5 м/с, а нижня вліво з швидкістю v₂ = 1,5 м/с. Вважаючи колесо однорідним диском, визначити кінетичну енергію системи, якщо кожна рейка важить 4,9 кН.

Відп.: Т = 0,738 кН/м.

Рис. 41 Рис. 42

4. На тіло А вагою Р₁ (рис. 42), до якого за допомогою нитки прикріплено тіло В вагою Р₂, діє стала горизонтальна сила F. Нехтуючи тертям, вагою блока і нитки АСВ і вважаючи кут α відомим, визначити швидкість і прискорення тіла А залежно від пройденого шляху s. Початкова швидкість v₀ = 0.

Відп.: ; а = .

Рис. 43

5. Через блок В (рис. 43) перекинуто мотузку, до кінців якої прикріплено тіла А₁ і А₂ вагою Р₁ і Р₂, відповідно. До тіла А₁ прикладена стала горизонтальна сила F₁. Знайти швидкість цього тіла залежно від пройденого шляху СА₁ = s₁, нехтуючи тертям, вагою блока і мотузки. Висота ВС = а.

Відп.: