2.5 Оценка параметров в статистике

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет нормальное распределение, тогда:

1. Если среднее квадратическое отклонение  известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а этого признака с доверительной вероятностью  находится из условия:

(5).

где n – объем выборки, - выборочная средняя арифметическая, t – аргумент функции Лапласа, при котором 2Ф(t) = . При этом называется точностью оценки. (Приложение А)

2. Если среднее квадратическое отклонение  неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром n и не зависит от неизвестных параметров а и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок n < 30 дает вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а этого признака с доверительной вероятностью , находится из условия:

(6).

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение, t_ - коэффициент Стьюдента, находится по данным n и  из таблицы значений t_ (Приложение 2).

3. Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение  этого признака с доверительной вероятностью , находится из условия:

S (1 – q) <  < S (1 + q), если q < 1; (7).

0 <  < S (1 + q), если q > 1,

где q =  /S находится по данным n и  из таблицы значений q (Приложение 3).

2.6 Лабораторная работа №3

Задание. Используйте данные, собранные при выполнении лабораторной работы № 2.

Цель работы. Овладение методом составления доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном  и для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения.

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Запишите статистическое распределение частот дискретного вариационного ряда из пункта 7 лабораторной работы № 2.

2. Найдите доверительную вероятность по формуле  = 0,99 + 0,0001  k, где k – порядковый номер студента в журнале.

3. Вычислите среднее арифметическое рассматриваемого признака Х.

4. Вычислите исправленную среднюю квадратическую погрешность n измерений по формуле:

5. Определить коэффициент Стьюдента t_ для заданной доверительной вероятности  и числа проведенных измерений n (Приложение Б).

6. Найдите границы доверительного интервала для оценки математического ожидания а при заданной доверительной вероятности используя

условие 6.

7. По данным  и n найдите значение q (Приложение В).

8. Найдите границы доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения  при заданной доверительной вероятности , используя условие 7.

9. Ответьте на следующие вопросы:

1) Найдите значение коэффициента t из условия 2Ф(t) =  для  = 0,95; 0,99; 0,999 и сравните их со значениями коэффициента Стьюдента t_ при соответствующих значениях  и различных значениях n. Какой вывод из этого сравнения можно сделать?

2) Сравните точность оценки для различных значений n и . При каких условиях точности оценки увеличивается?