2.7 Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами

Корреляционной зависимостью Y от Х называют функциональную зависимость условной средней от х.

представляет уравнение регрессии Y на Х, а - уравнение регрессии Х на Y.

Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид:

, (8).

где угловой коэффициент а прямой регрессии Y на Х называется выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначается _ух.

При малых выборках данные не группируются. Параметры  и b находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

(9).

где n – число наблюдаемых значений пар взаимозависимых величин.

Выборочный линейный коэффициент корреляции r_В показывает тесноту связи между Y и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле

(10).

Причем r_В  1, а именно:

а) если r_В = 0, то X и Y не связаны корреляционной зависимостью;

б) если r_В = 1, то X и Y связаны функциональной зависимостью;

в) если r_В < 1, то между X и Y существует корреляционная зависимость, при этом эта связь тем теснее, чем r_В ближе к единице.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид:

(11).

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на Y имеет вид:

(12).

При большом числе наблюдений признаков X и Y составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х наблюдается n_x раз одно и то же значении y наблюдается n_y раз и одна и та же пара (х; у) наблюдается n_xy раз.

2.8 Лабораторная работа № 4

Задание. На основании результатов экзаменационной сессии соберите данные об успеваемости по одной дисциплине (признака Х) и по другой дисциплине (признаку Y), с помощью статистических методов изучите зависимость между этими величинами.

Цель работы. Овладение методами установления связи между двумя случайными величинами X и Y при большом числе наблюдений и методами определения параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

Порядок выполнения лабораторной работы:

Соберите данные о значении признака Х - успеваемость по математике и Y – успеваемость по информатике у студентов одного курса. Число студентов вычислить по формуле n = k + 20, где k – порядковый номер студента в журнале.

Примечание. Данные о значениях признаков X и Y можно выборочно взять из экзаменационных ведомостей или ведомостей рубежного контроля.

2. Полученные данные внесите в корреляционную таблицу

yi xi	2	3	4	5	nx
2
3
4
5
ny					n

Порядок заполнения внутри таблицы поясним примером. В группе 5 студентов получили «удовлетворительно» (3) по отечественной истории и «хорошо» (4) по философии. В уголке клетки (на пересечении третьей строки и четвертого столбца) записывается значение ху, равное 12. После заполнения соответствующих клеток внутри таблицы подсчитайте n_x для каждого x_i и n_y для каждого y_i. Должно иметь место равенство . По виду корреляционной таблицы установите форму корреляционной связи признаков Х и Y.

3. Корреляционную таблицу дополните до расчетной таблицы и произведите необходимые вычисления.

yi	2	3	4	5	nx	nxx	nxx2	nxyxy
xi
2
3
4
5
ny					n	∑nxx	∑nxx2	∑nxyxy
nyy					∑nyy
nyy2					∑nyy2
nxyxy					∑nxyxy

4. Вычислите ,

.

5. Найдите _х и _у по формулам:

, .

6. По формуле (10) вычислите выборочный коэффициент корреляции r_В и установите по его величине степень тесноты связи.

7. Подставьте найденные величины в уравнение 11 прямой линии регрессии Y на Х.

8. Подставьте найденные величины в уравнение 12 прямой линии регрессии Х на Y.

9. Постройте линии на графике и убедитесь, что обе линии походят через точку ().