10. Запишите условия

а) совпадения двух плоскостей;

б) параллельности двух плоскостей;

в) пересечения двух плоскостей;

г) перпендикулярности двух плоскостей.

(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей).

11. Как вычислить расстояние от точки М₀(х₀;y₀;z₀) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)?

12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая

а) параллельна координатной плоскости 0_xz

б) параллельна оси ординат;

в) проходит через начало координат?

13. Пусть плоскость задается уравнением Ax+By+Cz+D=0. Запишите условие принадлежности двух точек М₁(х₁;y₁;z₁), М₂(х₂;y₂;z₂) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.

Примеры: 1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М₁(1;2;3), М₂(0;4;1), М₃(3;1;1)

Р е ш е н и е: Векторы , являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы ,, компланарны, что эквивалентно тому, что

их смешанное произведение равно нулю, т. е.. Отсюда получаем или (рис.3).

О т в е т:

2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки .

Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку , в качестве направляющих векторов, например, векторы и Тогда получим (рис.3).

О т в е т: .

3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины.

Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a=b=c. Учитывая, что точка М₀ лежит на этой плоскости, находим а:. Таким образом, получим

О т в е т: .

4. Запишите общее уравнение плоскости , , .

Р е ш е н и е: : Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М₀(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы , параллельны ей. Но тогда вектор

будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде:

. Подставляя в это уравнение координаты точки , вычислим :

. Отсюда . Следовательно,

О т в е т: (рис.4).

5. Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями и .

Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: или (**),

где и одновременно не равны нулю.

Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что . Отсюда , но тогда из уравнения (**) получаем или , так как .

О т в е т: .

6. Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями и .

Р е ш е н и е: Искомые плоскости – множество точек, равноудаленных от заданных плоскостей.

Пусть - точка этих искомых плоскостей .

Тогда , что эквивалентно

. Раскрывая модуль, получим два линейных уравнения: 1) или ; 2) или . Эти уравнения и задают искомые плоскости.

О т в е т: и .

по теме “ПЛОСКОСТЬ”

1. Дана плоскость .

1) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.

2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой плоскости.

3) Принадлежит ли точка заданной плоскости?

4) Найдите величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях.

5) Выпишите какие-либо параметрические уравнения заданной плоскости.

6) Вычислите расстояние от точки М(2;0;1) до заданной плоскости.

7) Лежат ли точки и в одном полупространстве, определяемом заданной плоскостью?

8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью

x+3y+2z-7=0.

2. Вычислите значение параметра D, при котором плоскость

x-3y+4z+D=0 проходит через точку М(4;1;0).

3. Вычислите значение параметров А и С, при которых плоскости x+5y-7z+1=0 и Аx-10y+Cz-7=0 параллельны

4. Запишите множество, задающее все плоскости, параллельные вектору.

5. Дана плоскость x=2-u+3v, y=u+v, z=3-u.

1) Укажите два какие-либо неколлинеарные направляющие векторы этой плоскости.

2) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.

3) Установите, лежит ли на этой плоскости точка М(4;2;2).

4) Запишите какое-либо общее уравнение этой плоскости.

5) Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости.

6) Запишите для заданной плоскости уравнение в отрезках.

7) Вычислите расстояние от точки до заданной плоскости.

8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью

4x+y+3z-1=0.

6. Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

ПРЯМАЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Какие уравнения называются

а) параметрическими уравнениями прямой;

б) каноническими уравнениями прямой?

2. Каков геометрический смысл коэффициентов

а) параметрических уравнений прямой;

б) канонических уравнений прямой?