Додаток а способи перетворення проекцій* а.1 Спосіб обертання навколо проекціійної прямої та лінії рівня

Суть цього способу полягає у тому, що вихідний об’єкт обертають навколо деякої прийнятої осі так, щоб він після обертання виявився у особливому положенні N відносно незмінної системи площин проекцій.

А.1.1 Обертання точки навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій

При обертанні геометричного об’єкта треба знати елементи обертання:

1) об’єкт обертання (точка, пряма, плоска фігура тощо);

2) вісь обертання (проектуюча пряма або лінія рівня);

3) площина обертання (проходить через об’єкт обертання і перпендикулярна до осі обертання);

4) центр обертання (точка перетину осі обертання з площиною обертання);

5) радіус обертання (відстань від центра обертання до об’єкта обертання).

Рисунок А.1

*Способи заміни площин проекцій та плоско-паралельного переміщення див. „Конспект лекцій. Нарисна геометрія”.Частина І. Данилюк Я.М., Марцінковська І.П.

Рисунок А.2

На наочному зображенні (рис. А.1) подано приклад обертання точки А навколо вертикальної (горизонтально-проектуючої ) осі l на кут α. Тут об’єктом обертання є точка А(А₁,А₂), віссю обертання – вертикальна вісь l (l_1, l₂), площиною обертання – горизонтальна площина Г зі слідом Г₂, центром обертання – точка О (О₁,О₂), а радіусом обертання – R_А = О₁А_1.

На рис.А.2 показано побудову положення точки А після обертання навколо прямої l на кут α на епюрі.

Радіусом, рівним відстані від точки О₁ до А_1, повертаємо точку А₁ на кут α і отримуємо нове положення А₁', а по лінії зв’язку на сліді Г₂ – проекцію А₂'. Принагідно зазначимо, що віссю l може бути також фронтально-проектуюча або профільно-проектуюча пряма.

На рис.А.3 представлена просторова модель обертання прямої АВ загального положення навколо вертикальної прямої l (проведеної через точку В) до фронтального положення. При такому положенні осі l в обертовому русі знаходиться тільки точка A.

Рисунок А.3 Рисунок А.4

Елементи обертання:

1) об’єкт обертання – пряма АВ.

2) вісь обертання – вертикальна вісь l (l_1, l₂), проведена через точку В

3) площина обертання – горизонтальна площина Г зі слідом Г₂;

4) центр обертання – точка О (О₁ ,О₂);

5) радіус обертання – R_А – відстань від О₁ до А₁.

Радіусом R_А, рівним відстані від О₁ до А₁ , обертаємо проекцію А₁В₁ (а саме точку А₁ до положення А₁'), паралельно до осі ОХ. По лінії зв’язку на сліді Г₂ будуємо проекцію А₂' точки А після обертання. Відрізок А₂'В₂ являє собою дійсну величину відрізка АВ, оскільки він після обертання став фронтальним.

При обертанні площини, заданої слідами, повертають, звичайно, один із її слідів та горизонталь або фронталь у ній. На рис.А.5 площина Σ загального положення повернута на кут α навколо вертикальної осі l, що належить площині π₂ проти руху годинникової стрілки.

Для побудови слідів площини після обертання на сліді Σ₁ вибрана точка А, утворена при перетині перпендикуляра з точки N₁=l₁ з цим слідом. Точка А₁ повернута на кут φ в нове положення А₁'. Перпендикулярно до N₁А₁' проведено слід Σ₁'. Утворена на осі ОХ точка Σ_х' з’єднана з точкою N і отримана лінія є фронтальним слідом Σ₂' площини Σ після обертання.

А.1.2 Обертання навколо лінії рівня

Обертання навколо лінії рівня є окремим випадком обертання, при якому плоска фігура з загального положення повертається до положення, паралельного до тієї чи іншої пло-щини проекцій. Цим саме визначається дійсна величина плоских фігур. Побудова дійсної величини трикутника АВС способом обертання навколо горизонталі представлена на рис. А.6.

Площина трикутника при цьому повернута до горизонтального (паралельного до π₁) положення.

Рисунок А.5 Рисунок А.6

Елементи обертання:

1) об’єкт обертання – трикутник АВС;

2) вісь обертання – горизонталь h з проекціями h₁ та h₂;

3) площина обертання – горизонтально-проектуюча площина Q (на епюрі горизонтальний слід Q₁) для точки В і така ж площина R для точки А (точка С нерухома, так як лежить на горизонталі h);

4) центр обертання – для точки В це точка О, для точки А – точка О'.

5) радіус обертання для точки В – відстань О₁В₁ та О₂В_2. (дійсна величина радіуса О₁В₀), для точки А – відстань О₁'А₁ та О₂'А₂.

Для спрощення побудови дійсної величини ΔАВС покажемо тільки побудову нового положення точки () після обертання навколо горизонталі до горизонтального положення площини трикутника, так як нове положення точки А буде на сліді R₁ та на продовженні лінії 1₁(так як точка 1₁, як і точка С₁ – нерухомі).

Способом побудови гіпотенузи прямокутного трикутника знаходимо дійсну величину радіуса обертання точки В (R_В = О₁В₀) і повернемо точку В цим радіусом на слід Q₁. Провівши пряму через В₁' та 1₁ до перетину зі слідом R₁ , отримуємо А₁'. Цю точку з’єднуємо з нерухомою точкою С₁. Проекція А₁΄В₁΄С₁΄ є дійсна величина трикутника АВС, побудованого обертанням його проекції А₁В₁С₁ навколо горизонтальної проекції горизонталі h. Аналогічну задачу можна розв’язати обертанням площини трикутника навколо фронталі в системі π₁π₂.

А.2 Суміщення сліду площини з площиною проекцій

Суміщення є окремим випадком обертання одного сліду площини навколо іншого до його суміщення з однією з площин проекцій.

Якщо в результаті розв’язку певної задачі у площині, заданій слідами, лежить геометричний об’єкт (пряма лінія або плоска фігура), то дійсну величину цієї фігури легко знайти, сумістивши один із слідів цієї площини з площиною проекцій обертанням одного сліду навколо іншого. Інакше кажучи, якщо, наприклад, сумістити фронтальний слід площини з горизонтальною площиною проекцій, то геометричний об’єкт, який у ній лежить, спроектується на неї у натуральну (дійсну) величину. Принцип побудови не зміниться, якщо навпаки, сумістити горизонтальний слід з фронтальною площиною проекцій.

Розглянемо, наприклад, механізм суміщення (обертання сліду Σ₂ навколо сліду Σ₁) площини Σ з горизонтальною площиною проекцій π₁ (рис.10.18). Для побудови суміщеного положення сліду Σ₂ вибираємо на ньому точку N (N₁, N₂). Зауважимо, що точка N обертається у горизонтально-проектуючій площині зі слідом Δ₁. Будуємо проекції радіуса обертання О₁N₁ та О₂N₂ ( О₁N₁ Σ₁ ), вважаючи, що суміщення (обертання) здійснюємо навколо сліду Σ₁ (нульової горизонталі). Побудовою гіпотенузи прямокутного трикутника знаходимо дійсну величину радіуса обертання R_N= O₁N₀ точки N. Навколо точки О₁ повертаємо точку N₀ до суміщення Σ₂ з площиною π₁, отримуємо точку N₂^с. З’єднавши цю точку з точкою збігу слідів _х, отримуємо суміщене положення фронтального сліду - ₂^с. Суміщене положення точки N₂^с та суміщеного сліду ₂^с можна отримати простішою побудовою, провівши дугу радіусом _х N₂ до перетину зі слідом ₁ (рис. А.8).

Виходячи з попереднього пояснення, побудоване (на рис.А.9) суміщене положення А₂^с, так як h₂^c h₁.

Рисунок А.7 Рисунок А.8

Практичного змісту набувають задачі з побудови суміщеного положення складніших геометричних об’єктів. Побудова проекцій та дійсної величини рівностороннього трикутника за заданою стороною АВ, яка лежить у площині , показана на рис.А.10.

Рисунок А.9 Рисунок А.10

Спочатку побудоване суміщене положення А₂^сВ₂^с прямої АВ за заданою проекцією А₂В₂ (горизонтальна проекція А₁В₁ побудована на горизонталях h₁ та h₁). Методом засічок побудовано точку С₂^с та рівносторонній трикутник А₂^сВ₂^сС₂^с. А далі зворотнім проектуванням через суміщену горизонталь h₂^с побудовано проекції С₂ та С₁, які лежать відповідно на відповідних проекціях h₂ та h₁ горизонталі.

При розв’язуванні багатьох задач при перетині тіл проектуючими площинами виникає необхідність їх суміщення для визначення справжніх величин фігур перерізів. Тому вміння будувати суміщені положення проектуючих площин і фігур в них є важливим. Суміщення проектуючих площин з площинами проекцій виконується простіше, так як кут між слідами таких площин дорівнює 90°, тому і в суміщеному положенні прямий кут між слідами таких площин зберігається. На рис А.11,а показано суміщення сліду Г₂ з площиною π₁ та точки А у цій площині Г, а на рис А.11,б - суміщення сліду Q₁ з площиною π₂ та точки А у горизонтально-проектуючій площині Q. На рис.10.23,а показано суміщення сліду Т₂ з площиною π₁ та точки А у фронтально-проектуючій площині Т, а на рис. А.12,б - суміщення горизонтального сліду Р₁ з площиною π₂ та точки А у фронтально-проектуючій площині Р.

а б

Рисунок А.11

а б

Рисунок А.12

Запитання для самоперевірки

1. Які способи перетворення проекцій Ви знаєте?

2. У чому полягяє суть способу заміни площин проекцій?

3. Як вводяться додаткові площини проекцій?

4. Як побудувати дійсну величину відрізка прямої?

5. Як побудувати дійсну величину плоскої фігури?

6. Як будують суміщене положення слідів?

7. В чому полягає суть способу плоско-паралельного переміщення?

8. Як побудувати дійсну величину плоскої фігури за цим способом?

9. Як будують дійсну величину плоскої фігури способом обертання навколо лінії рівня?

10. Як здійснити суміщення слідів площини загального положення з площинами проекій?

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Наука, 1988.–366с.

2. Михайленко В.Е., Пономарев А.М. Инженерная графика. Киев.: Вища школа,1990.–303с.

3. Фольта О.В., Антонович Є.А., Юрковський П.В. Нарисна геометрія. Львів.:Світ,1994.–303с.

4. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985.–288с.

5. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение,1983.–240с.

6. Василишин Я.В. Лекції з нарисної геометрії: Частина 1, Івано-Франківськ:Факел,1991.–72с.

7. Василишин Я.В. Лекції з нарисної геометрії: Частина 2, Івано-Франківськ:Факел,1994.–72c.

8. Нарисна герметрія та інженерна графіка. Методичні рекомендації для студентів заочної та дистанційної форми навчання. Київ, КДУТД, 2001.–108 c.

9. Потишко Л.В. Справочник по инженерной графике. Киев.:Будівельник,1983.–264с.

95

20