1.2.5 Перерізи багатогранників площинами загального положення. Побудова дійсної величини перерізу

На рис 1.13 показано ще складнішу побудову перетину трикутної піраміди площиною загального положення Ф.

Рисунок 1.13

Так як січна площина проходить через основу піраміди SABC, то на епюрі точки 1₁ та 2₁ знаходимо без додаткової побудови на проекціях сторін А₁В₁ та А₁С₁. Із зображення піраміди та положення січної площини очевидним є те, що бічне ребро АS не перетинається площиною Ф, а ребра SB та SC перетнуться. Тому через ребро SВ проведемо фронтально-проектуючу площину зі слідом Δ₂, яка зі заданою площиною перетнеться по лінії МN. Перетин проекції М₁N₁ цієї лінії з проекцією ребра S₁В₁ дає точку 3₁, а на лінії зв’язку – точку 3₂ на ребрі S₂В₂. Аналогічно побудовано і проекції точки 4₁ та 4₂. Для розуміння згаданих побудов зазначимо, що у даному випадку маємо перетин двох площин, заданих слідами: загального положення Ф та фронтально-проектуючої площини Δ.

Дійсна величина фігури перерізу 1_С2_С4_С3_С побудована суміщенням площини Ф з площиною π₁. Для цього у заданій площині на сліді Ф₂ взята довільна точка N^// (N^// N₂^//) і знайдена її проекція N₁^//, через яку проведена площина обертання Q зі слідом Q₁, перпендикулярним до Ф₁. Далі радіусом Ф_ХN₂^// з точки Ф_Х проведена дуга до перетину зі слідом Q₁ і отримано суміщене положення точки N^// (N₂^//С) Сполучивши точки Ф_Х та N₂^//С , отримаємо суміщене положення сліду Ф₂^С. Побудова суміщеного положення точок 3с та 4с зрозуміла без додаткових пояснень ( вона викладена в лекції №11, ч.І). Проекції фігури перерізу на π₁ та π₂ позначені штрихами для розуміння їх форми і показані з врахуванням їх видимості, а дійсна величина в суміщеному положенні заштрихована. Для побудови дійсної величини перерізу через точки 3₂ та 4₂ проведені горизонталі h₂ та h₂ і побудоване їх суміщене положення h₂^С та h₂ ^C ( ці лінії паралельні до сліду Ф₁). Далі з точки 3₁ та 4₁ проведено перпендикуляри до сліду Ф₁, які при перетині з відповідними суміщеними горизонталями дають точки 3с та 4с. Суміщені положення точок 1с та 2с співпадають, так як вони лежать на нерухомому при суміщенні сліді Ф₁ (1с_1₁ та 2с_2₁).

Запитання для самоперевірки

1 Як у нарисній геометрії слід тлумачити поняття поверхні?

2 Що означає задати поверхню на епюрі?

3 Що таке „визначник” поверхні?

4 Наведіть приклади лінійчастих і нелінійчастих поверхонь.

5 Які поверхні називаються розгортними і нерозгортними?

6 Як будуються на епюрі гранні поверхні?

7 Як визначають точки і прямі на поверхнях багатогранників?

8 У чому суть побудови перерізу багатогранників площинами?

2 Перетин багатогранників прямими лініями

2.1 Перетин багатогранників прямими лініями

В результаті перетину багатогранника прямою лінією отримують дві точки (входу і виходу). Для побудови цих точок через задану пряму проводять допоміжну площину (рис.2.1) і знаходять фігуру перерізу допоміжної площини з гранями багатогранника за способом, описаним у попередній лекції. Точки перетину сторін фігури перерізу з заданою прямою дають згадані точки входу і виходу М та N відповідно.

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

В окремих випадках, коли грані багатогранника є площинами проектуючого положення ( рис. 2.2), точки входу і виходу ( М, К) визначаються безпосередньо без додаткової побудови при перетині цих граней з прямою. Тут проекції точок М₁ та К₁ знаходяться відповідно у горизонтально-проектуючих площинах, які збігаються з гранями А₁D₁ та В₁С₁. Проекція t₁ між точками К₁ та М₁ на π₁ невидима, так як проходить у середині призми, а проекція t ₂ наведена з урахуванням видимості на π₂.

На рис.2.3 показано побудову точок перетину тригранної призми прямою l, яка перетинає одну бічну грань в точці К і верхню основу в точці М. Побудова точок М₂ та К₂ зрозуміла без додаткових пояснень.

Для побудови точок перетину прямої АВ з поверхнею трикутної піраміди SАВС (рис. 2.4) на епюрі через пряму l проведена проектуюча площина Г ( зі слідом Г₂l₂), яка перетинає бічну поверхню піраміди по трикутнику1₁2₁3₁, подібному до основи А₁В₁С₁. Спершу знайдені точки К₁ та М₁ на перетині трикутника 1₁2₁3₁ з проекцією l₁ а потім К₂ та М₂.

Рисунок 2.3

Побудова здійснена з урахуванням взаємної видимості прямої та призми на обох проекціях.

.

Рисунок 2.4 Рисунок 2.5

На рис.2.5 показано побудову точок перетину прямої АВ з поверхнею похилої призми. Через пряму проведено фронтально-проектуючу площину Ф зі слідом Ф₂, яка перетинає призму по трикутнику 123. Спочатку визначені точки К₁ та М₁ перетину прямої l₁ з проекцією трикутника 1₁2₁3₁, а по лініях зв’язку на l₂ фронтальні проекції точок К₂ та М₂ з урахуванням видимості відносно поверхні прямої призми на обидвох проекціях.

На рис 2.6 побудовано проекції точок К та М перетину горизонтально-проектуючої прямої t (t₁,t₂) з поверхнею трикутної піраміди SABC. Для цього через t та S проведена горизонтально- проектуюча площина Q зі слідом Q₁(Q₁l₁S₁), яка перетинає піраміду по трикутнику 1S2 (з проекціями 1₁S₁2₁ та 1₂S₂2₂). На побудованій проекції 1₂S₂ знаходиться точка К₂, а на основі А₂В₂S₂ – точка М₂ прямої t₂.

Рисунок 2.6